y是由三次函數fx=ax^3+bx^2+cx+d定義的

對於三次函數fx ax 3 bx 2 cx da 0定義：設f x是函數y fx的導數y

(1)依題意，得：f′（x）=3x 2 -12x 5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2

所以拐點座標是（2,-2）

(2)設（x 1 ,y 1 ）與（x,y）關於（2,-2）中心對稱，並且（x 1 ,y 1 ）在f(x)，所以就有

x 1 =4-x

y 1 =-4-y ,

由y 1 =x 1 3 -6x 1 2 5x 1 4，得-4-y=(4-x) 3 -6(4-x) 2 5(x-4) 4

化簡的：y=x 3 -6x 2 5x 4

所以（x,y）也在f(x)上，故f(x)關於點（2,-2）對稱.

三次函數f(x)=ax 3 bx 2 cx d(a≠0)的「拐點」是（-

b

3a ,f(-

b

3a )），它就是函數f(x)的對稱中心

（或：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移後可以是奇函數）.

(3),G(x)=a(x-1) 3 b(x-1) 2 3(a≠0)，或寫出一個具體函數，如G(x)=x 3 -3x 2 3x 2，或G(x)=x 3 -3x 2 5x

對於三次函數fx ax3 bx2 cx da 0定義：設f x是函數y fx的導函

(1)f′（x）=3x2-6x 2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分)f(1)=13-3 2-2=-2∴拐點A(1,-2)…（3分）

(2)設P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=x03-3x02 2x0-2，因為P(x0,y0)關於A(1,-2 )的對稱點為P'(2-x0,-4-y0),

把P'代入y=f(x)得左邊=-4-y0=-x03 3x02-2x0-2

右邊=（2-x0）3-3(2-x0)2 2(2-x0)-2=-x03 3x02-2x0-2∴右邊=右邊∴P′（2-x0,-4- y0）在y=f(x)圖像上∴y=f(x)關於A對稱…（7分）

結論：①任何三次函數的拐點，都是它的對稱中心

②任何三次函數都有「拐點」

③任何三次函數都有「對稱中心」（寫出其中之一）…（9分）

(3)設G(x)=ax3 bx2 d，則G(0)=d=1…（10分）∴G(x)=ax3 bx2 1,G'(x)=3ax2 2bx,G ''(x)=6ax 2bG''(0)=2b=0,b=0，∴G(x)=ax3 1=0…（11分）

法一：

G(x1) G(x2)

2 ?G(

x1 x2

2 )=

a

2

x 3

1

a

2

x 3

2

?a(

x1 x2

2 )3=a[

1

2

x 3

1

1

2

x 3

2

?(

x1 x2

2 )3]=

a

2 [

x 3

1

x 3

2

?

x 3

1

x 3

2

3

x 2

1

x2 3x1

x 2

2

4 ]=

a

8 (3

x 3

1

3

x 3

2

?3

x 2

1

x2?3x1

x 2

2

)=

a

8 [3

x 2

1

(x1?x2)?3

x 2

2

(x1?x2)]=

3a

8 (x1?x2)2(x1 x2)…（13分）

當a>0時，

G(x1) G(x2)

2 >G(

x1 x2

2 )

當aG(x1) G(x2)

2 x1 x2

2 ）…（14分）

法二：G′′（x）=3ax，當a>0時，且x>0時，G′′（x）>0，∴G(x)在（0， ∞）為凹函數，∴

G(x1) G(x2)

2 >G(

x1 x2

2 )…（13分）

當aG(x1) G(x2)

2 x1 x2

2 ）…（14分）

對於三次函數fx ax3 bx2 cx da 0定義：設f x是函數y fx的導函數

(1)∵f'(x)=3x2-6x 2,

∴f''(x)=6x-6,

令f''(x)=6x-6=0,

得x=1,f(1)=-2

所以「拐點」A的座標為（1,-2）

(2)設P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=x03?3x02 2x0?2

∴P(x0,y0)關於（1,-2）的對稱點P'(2-x0,-4-y0),

把P'(2-x0,-4-y0)代入y=f(x)，得左邊=？ 4?y0=?x03 3x02?2x0?2

右邊=（2?x0）3?3(2?x0)2 2(2?x0)?2=?x03 3x02?2x0?2

∴左邊=右邊，

∴P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)圖像上，

∴f(x)的圖象關於「拐點」A對稱.

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