定義為fx ax³ bx² cx d a=0的三次函數

對於三次函數fx ax3 bx2 cx da 0給出定義：設f x是函數y fx的

∵f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),

∴f′（x）=3ax2 2bx c,f''(x)=6ax 2b,

∵f″（x）=6a*(-

b

3a ) 2b=0,

∴任三次函數都關於點（-

b

3a ,f(-

b

3a )）對稱，即①正確；

∵任何三次函數都有對稱中心，且「拐點」就是對稱中心，

∴存在三次函數f′（x）=0有實數解x0，點（x0,f(x0)）為y=f(x)的對稱中心，即②正確；

任何三次函數都有且只有一個對稱中心，故③不正確；

∵g′（x）=x2-x,g″（x）=2x-1,

令g″（x）=0，可得x=

1

2 ，∴g(

1

2 )=-

1

2 ,

∴g(x)=

1

3 x3-

1

2 x2-

5

12 的對稱中心為（

1

2 ,-

1

2 ）,

∴g(x) g(1-x)=-1,

∴g(

1

2013 ) g(

2

2013 ) … g(

2012

2013 )=-1*1006=-1006，故④正確.

故答案為：①②④.

對於三次函數fx ax 3 bx 2 cx da 0給出定義：設f x是函數fx

①由f(x)=2x 3 -3x 2 -24x 12，得f ′ =6x 2 -6x-24,f ′′ （x）=12x-6.

由f ′′ （x）=12x-6=0，得x=

1

2 . f(

1

2 )=2*(

1

2 ) 3 -3*(

1

2 ) 2 -24*

1

2 12=-

1

2 .

所以函數f(x)=2x 3 -3x 2 -24x 12的對稱中心座標為 （

1

2 ,-

1

2 ） .

故答案為 （

1

2 ,-

1

2 ） .

②因為函數f(x)=2x 3 -3x 2 -24x 12的對稱中心座標為 （

1

2 ,-

1

2 ） .

所以 f(

1

2013 ) f(

2012

2013 )=f(

2

2013 ) f(

2011

2013 )=…=2f(

1

2 )=2*(-

1

2 ) =-1.

由 f(

2013

2013 )=f(1)=-13 .

所以 f(

1

2013 ) f(

2

2013 ) f(

3

2013 ) … f(

2012

2013 ) f(

2013

2013 ) =-1006-13=-1019.

故答案為-1019.

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