二階數列的通項公式

數列通項公式的二階數列

根據一階遞歸數列的概念，我們可以定義同時包含an 2、an 1、an的遞推式為二階數列。與一階數列相比，二階數列的通項公式更加複雜。為了方便變形，讓我們先解釋二階數列的簡單形式：

an 2 = A * an 1 B * an ， （ 同樣，A,B常係數） 基本思路類似於一階，只不過，在復合時要注意觀察待定係數和相應的項

原式複合： 設 原式變形後為此形式 an 2 - ψ * an 1 = ω （an 1 - ψ * an）

將該式與原式對比 ，可得

ψ ω = A 且 -（ψ*ω）= B

透過解這兩式可得到 ψ與ω的值，

設bn = an 1 - ψ*an ， 原式就變成bn 1 = ω *bn 等比數列，可出bn 通項公式bn= f (n) ,

透過給定的等式an 1 - ψ*an = f(n)，我們可以觀察到這個式子其實是一階數列的定義。這個式子只涉及到an 1和an兩個數列變數，因此可以將其視為“降階”，將一個二階數列化為一階數列，進而解決問題。

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已知某數列的二次二階遞推公式通項

A(n 1)=A(n) A(n-1)-2A(n)*A(n-1)

變形為1-A(n 1)=(1-An)(1-A(n-1))

令Bn=1-An，得到

B(n 1)=Bn*B(n-1)

如果能保證Bn>0，則這裡可以兩邊取對數得到lgB(n 1)=lgBn lgB(n-1)

然後令Cn=lgB(n 1)，則Cn是變成斐波那契數列，以下略

如果不能保證Bn>0，則觀察B3=B2B1

B4=(B2)^2*B1

B5=(B2)^3*(B1)^2

B6=(B2)^5*(B1)^3

注意Bn=(B2)^x*(B1)^y

#顯然x,y都是菲波那契數列，以下略

（關於菲波那契數列，可以在網路上搜，它的通項比較複雜，這裡沒寫）

注意用上面的方法解出來的結果可能是Cn或Bn的，需要最後進行轉換An=1-Bn，別忘了

二階遞推公式怎麼推通項公式？

a(n 1) pan qa(n-1)=0

設a(n 1) xan=y[an xa(n-1)]

a(n 1) (x-y)an-xya(n-1)=0

x-y=p

xy=-q

x1=p √（p^2-4q）,y1=√（p^2-4q）,

x2=p-√（p^2-4q）,y2=-√（p^2-4q）,

a(n 1) x1an=y1[an x1a(n-1)]

a(n 1) x2an=y2[an x2a(n-1)]

兩式相除：

[a(n 1) x1an]/[a(n 1) x2an]=(y1/y2){[an x1a(n-1)]/[an x2a(n-1)]}

設bn=[a(n 1) x1an]/[a(n 1) x2an]

bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)

bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2 x1a1]/[a2 x2a1]

[a(n 1) x1an]/[a(n 1) x2an]=b1(-1)^(n-1)

a(n 1) x1an=b1[a(n 1) x2an](-1)^(n-1)

=[b1(-1)^(n-1)]a(n 1) [b1(-1)^(n-1)]x2an

[1-b1(-1)^(n-1)]a(n 1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an

[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)

[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)

……

[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3

[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2

[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1

兩邊相乘：

[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]…[1-b1(-1)^2][1-b1 (-1)^1][1-b1(-1)^0]an

={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}…{[b1(-1)^ 2]x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1

兩邊的係數都為已知，an已出（只要提供a1）。

如果p、q為具體數，兩邊可以化簡。

以上是二階數列的通項公式的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！