一道函數單調性題

一道函數單調性題

1))g(x)=x有兩個不等的實根

(bx-1)/(a^2x 2b)=x

#b^2- 4a^2>0

b的絕對值 > 2a 的絕對值

當a>0時，b>2a

f(x) 圖象開口向上， 對稱軸x= - b/2a

所以f(x) 在（-1，正無窮）為增函數

#所以f(x) 在（-1, 1）為增函數

當a

f(x)圖象開口向下， 對稱軸x= -b/2a >1

所以f(x) 在（負無窮，1，）為增函數

所以f(x) 在（-1, 1）為增函數

綜上，f(x)在（-1,1）上是單調增函數

2.x3

a根（b^2-4a）>根（b^2-4a^2）>-根（b^2-4a^2）>-a根（b^2-4a）.

可見必須a>0， 則a^2(b^2-4a)>b^2-4a^2 .

(a-1)[b^2(a 1)-4a^2]>0 .

a>1， 或a0）.

所以，a>1

函數單調性練

1.設y=f(x)是R上的減函數，y=f(IX-3I)的單調遞減區間

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#設函數u=IX-3I,x∈R，它在（-∞，3]上單調遞減，那麼y=f(u)=f(IX-3I)在（-∞，3]上單調遞增；

函數u=IX-3I,x∈R，它在[3， ∞）上單調遞增，那麼y=f(u)=f(IX-3I)在[3，∞）上單調遞減；

即函數y=f(IX-3I)的單調遞減區間是[3，∞）

-------------不懂的話，換個說法：

x1│x2-3│，f（│x1-3│）

3

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#已知二次函數f(x)滿足f(0)=1,f(x 1)-f(x)=2x，試f(x)的解析式

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#不妨設二次函數f(x)=ax^2 bx c

由f(0)=1得c=1

所以，f(x)=ax^2 bx 1

所以f(x 1)=a(x 1)^2 b(x 1) 1

f(x)=ax^2 bx 1

所以f(x 1)-f(x)=2ax a b

已知f(x 1)-f(x)=2x

那麼關於x的多項式2ax a b與2x相等，其係數相等

故有a=1，且a b=0，則b=-1

f(x)=x^2-x 1

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2.已知定義在[1,4]上的函數f(x)是減函數，滿足不等式f(1-2a)-f(4 a)>0的實數a集合

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#把不等式變成f(1-2a)>f(4 a)，利用函數的單調性甩掉對應法則f時，要注意函數的定義域

函數f(x)的定義域是[1,4]，又是減函數，那麼實數a同時滿足下面三個不等式：

1

1

1-2a

解不等式組，得：-1

所以，所實數a的取值範圍是（-1,0]

對照第2題，請你自己做第3題.......

問一個二次函數和單調性的問題

1）解析：∵對稱軸是X=-1的二次函數y=f(x)在R上的最小值是0，且f(1)=1

設函數f(x)=ax^2 bx c=a(x b/(2a))^2 (4ac-b^2)/4a

∴a>0,-b/(2a)=-1==>b=2a,(4ac-b^2)/4a=0==>4ac=b^2

∴4ac=4a^2==>c=a

又a b c=1==>4a=1==>a=1/4,b=1/2,c=1/4

∴函數的解析式為f(x)=1/4x^2 1/2x 1/4

2）若g(x)=(z 1)f(z-1)-zx-3在X屬於[-1,1]上是增函數，實數z的值範圍

解析：由1)f(x)=1/4x^2 1/2x 1/4

f(x-1)=1/4x^2-1/2x 1/4 1/2x-1/2 1/4=1/4x^2

g(x)=(z 1)1/4x^2-zx-3=(z 1)/4{[x-2z/(z 1)]^2-[(4z^2 12z 12) /(z 1)^2]}

=(z 1)/4[x-2z/(z 1)]^2-(z^2 3z 3)/(z 1)

∵g(x)在X屬於[-1,1]上是增函數

當（z 1）/4>0==>z>-1時

∴2z/(z 1)2zz

∴-1

當（z 1）/4z

∴2z/(z 1)>=1==>2zz>=1，顯然與z

當（z 1）/4=0==>z=-1時

∴g(x)=x-3，顯然g(x) 在X屬於[-1,1]上是增函數

綜上，滿足g(x) 在X屬於[-1,1]上是增函數，-1

3）最大的實數m(m大於1)，使得存在實數t，只要X屬於[1,m]，就有f(x t)小於等於x成立

解析：由1)f(x)=1/4x^2 1/2x 1/4

f(x t)=1/4(x t 1)^2

(x t 1)^2

x^2 2(t-1)x (t 1)^2

當t=0時，x^2-2x 1x=1

當t>0時，⊿=4(t-1)^2-4(t 1)^2=-16t

當t0

x1=(1-t)-2√（-t）, x2=(1-t) 2√（-t）

令（1-t） 2√（-t）=1==>t=-4

∴m=x2=(1-t) 2√（-t）=9

∴存在實數t=-4，只要X屬於[1,9]，就有f(x-4t)小於等於x成立.

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