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一元三次方程式的解公式！

WBOY轉載: 2024-01-05 19:50:281182瀏覽

一元三次方程式的根公式？？只要公式？

一元三次方程式根公式的解法

一元三次方程式的根公式不能透過通常的演繹思維得出，但可以透過類似解一元二次方程式的根公式的配方法來將標準型的一元三次方程式化簡為特殊型的形式x^ 3 px q=0。這個方法可以幫助我們更方便地求解一元三次方程式的根。

一元三次方程式的解公式的解法只能透過歸納思維得到。我們可以根據一元一次方程式、一元二次方程式以及特殊的高次方程式的根公式的形式進行歸納，從而得到一元三次方程式的根公式的形式。歸納得到的形式是x = A^(1/3) B^(1/3)，即為兩個開立方之和。然後，我們要找出A和B與p、q之間的關係。具體方法如下：

(1)將x=A^(1/3) B^(1/3)兩邊同時立方可以得到

(2)x^3=(A B) 3(AB)^(1/3)(A^(1/3) B^(1/3))

(3)由於x=A^(1/3) B^(1/3)，所以（2）可化為

x^3=(A B) 3(AB)^(1/3)x，移項可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A B)=0，和一元三次方程式和特殊型x^3 px q=0作比較，可知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A B)=q，化簡得

(6)A B=-q,AB=-(p/3)^3

(7)這樣其實就將一元三次方程式的根公式化為了一元二次方程式的根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程式的兩個根，而（6）則是關於形如ay^2 by c=0的一元二次方程式兩根的韋達定理，即

(8)y1 y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)對比（6）和（8），可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

(10)由於型為ay^2 by c=0的一元二次方程式根公式為

y1=-(b (b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化為

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a) ((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

將（9）中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入（11）可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2 (p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2) ((q/2)^2 (p/3)^3)^(1/2)

(13)將A,B代入x=A^(1/3) B^(1/3)得

(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2 (p/3)^3)^(1/2))^(1/3) (-(q/ 2) ((q/2)^2 (p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式（14）只是一元三方程式的一個實根解，按韋達定理一元三次方程式應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程式只要出了其中一個根，另兩個根就容易出了

一元三次方程式的根公式