揭示了「原子幾何」的奧秘：機器學習在推動數學領域的發展

代數簇是一個由多個多項式方程式定義的集合。它是代數幾何學中的重要概念，研究了多項式方程式的解集合在幾何空間中的性質。代數簇的方程可以是任意維度的，可以是實數域上的方程，也可以是複數域上的方程。研究代數簇的性質可以幫助我們理解多項式方程式的根的分佈和幾何形態

#代數幾何是將代數和幾何兩個數學分支融合在一起的學科。一方面，它涉及代數，即研究方程式的性質和解法；另一方面，它也涉及幾何，即研究形狀的性質和特徵。代數幾何的目標是將抽象的代數方法應用到幾何中，解決與複雜具體的形狀、曲面、空間和曲線相關的問題

代數幾何的基本問題是對一組多項式方程式的解集進行分類，簡單說來就是將空間分類。其研究的基本對象名為代數簇（Algebraic variety），也就是多項式方程組的解集的幾何表示。

而法諾簇（Fano variety）是一類重要的代數簇。從某種意義上說，它們是數學形狀的「原子片段」（Atomic pieces）。法諾簇在弦理論中也扮演著重要的角色。

重寫後的內容：法諾簇是幾何形狀的基本構建塊，它們是數學形狀的「原子塊」。最新的法諾簇分類研究包括分析一種被稱為量子週期的不變性。量子週期是一系列整數，用於為法諾簇提供數值指紋。據猜測，法諾簇的幾何特性可以直接從其量子週期恢復，如果這一假設成立的話

最近，來自諾丁漢大學和倫敦帝國學院的數學家們首次利用機器學習來擴展和加速對「原子形狀」的研究。這些「原子形狀」是構成更高維度基本幾何形狀的組成部分

具體而言，研究人員將機器學習應用於一個問題：X 的量子週期是否知道 X 的維度？請注意，尚無對此的理論理解。研究表明，簡單的前饋神經網路可以以 98％ 的精確度確定 X 的維度。在此基礎上，研究人員在一類法諾簇的量子週期內建立了嚴格的漸近性。這些漸近性決定了 X 的量子週期的維度。結果表明，在缺乏理論理解的情況下，機器學習可以從複雜的數學資料中挑選結構。他們也為猜想提供了積極的證據，即法諾簇的量子週期決定了多樣性。

本研究題為《機器學習範諾多樣性的維度》，於2023年9月8日在《自然通訊》上發布

論文連結：https://www.nature.com/articles/s41467-023-41157-1

幾年前，研究小組開始了創建形狀元素週期表的研究。他們將原子碎片稱為法諾簇。該團隊將一組稱為量子週期的數字序列與每個形狀相關聯，以提供描述形狀的“條碼”或“指紋”。最近，他們透過使用一種新的機器學習方法，成功地快速篩選這些條碼，從而能夠識別形狀及其屬性，例如每個形狀的尺寸

Alexander Kasprzyk 說： 「對於數學家來說，關鍵步驟是確定在給定問題中的模式。這可能非常困難，一些數學理論可能需要數年的時間才能發現。」

Tom Coates 教授說：「這是人工智慧可以真正徹底改變數學的地方，因為我們已經證明機器學習是在代數和幾何等複雜領域中發現模式的強大工具。」

Sara Veneziale 說：「我們對可以在純數學中使用機器學習的事實感到非常興奮。這將加速整個領域的新見解。」

總的來說，這項研究表明，機器學習能夠在複雜的數學數據中發現以前未知的結構，並且是開發嚴格數學結果的強大工具。它也為法諾簇程序中的基本猜想提供了證據：法諾簇的正則量子週期決定了這個變化

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