找到第n個幸運數

幸運數字 - 它是m > 1 的最小整數，對於給定的正整數n，pn# m 是質數，其中pn# 是第一個n 的乘積質數。

例如，要計算第三個幸運數字，先計算前 3 個質數 (2, 3, 5) 的乘積，即 30。加 2 後得到 32，這是偶數，加 3 得到 33，是 3 的倍數。同樣可以排除 6 以內的整數。加上 7 得到 37，這是一個質數。因此，7是第三個幸運數字。

第一個原初數的幸運數字是 -

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109 ….

問題陳述

給定一個數字n。找出第 n 個幸運數字。

範例 1

Input: n = 3

Output: 7

解釋 - 前 3 個價格數字的乘積 -

2  3  5 = 30
30 + 7 = 37, a prime number.

範例 2

Input: n = 7

Output: 19

解釋 - 前 7 個質數的乘積 -

2  3  5  7  11  13  17 = 510510
510510 + 19 = 510529, a prime number.

方法一：原始方法

解決這個問題的一個簡單方法是先計算 pn#，也就是前 n 個質數的乘積，然後找到 pn# 與下一個質數之間的差。獲得的差額將是一個幸運的數字。

虛擬程式碼

procedure prime (num)
   if num <= 1
      ans = TRUE
   end if
   for i = 2 to sqrt(num)
      if i is a factor of num
         ans = false
      end if
   ans = true
end procedure
procedure nthFortunate (n)
   prod = 1
   count = 0
   for i = 2 to count < n
      if i is prime
         prod = prod * i
         count = count + 1
      end if
   nextPrime = prod + 2
   while nextPrime is not prime
      nextPrime = next Prime + 1
   ans = nextPrime - prod
end procedure

範例：C 實作

在下面的程式中，透過計算前n個質數的本初以及找到本初後的下一個質數來計算幸運數。幸運數是下一個質數與本初數之間的差。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find if a number is prime or not
bool prime(unsigned long long int num){
   if (num <= 1)
      return true;
   for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++){
      if (num % i == 0)
         return false;
   }
   return true;
}

// Function to find the nth Fortunate number
unsigned long long int nthFortunate(int n){
   long long int prod = 1, count = 0;
   
   // Calculating product/primorial of first n prime numbers
   for (int i = 2; count < n; i++){
      if (prime(i)){
         prod *= i;
         count++;
      }
   }
   
   // Find the next prime greater than the product of n prime numbers
   unsigned long long int nextPrime = prod + 2;
   while (!prime(nextPrime)){
      nextPrime++;
   }
   
   // Fortunate number is the difference between prime and primorial
   unsigned long long int ans = nextPrime - prod;
   return ans;
}
int main(){
   int n = 15;
   cout << n << "th Fortunate number : " << nthFortunate(n);
   return 0;
}

輸出

15th Fortunate number : 107

時間複雜度- O(nsqrt(n))，其中prime() 函數的複雜度為O(sqrt(n))，nthFortunate() 中的for 迴圈的複雜度為O(nsqrt(n)) 。

空間複雜度 - O(1)

方法 2：埃拉托斯特尼篩法

埃拉托色尼篩用於將所有質數達到一個極限，我們將給出一個值 MAX。在這種方法中，我們建立一個包含所有 true 條目的布林數組，並將所有非素數索引標記為 false。然後將數組中的前 n 個質數相乘，得到前 n 個質數的乘積。然後與先前的方法類似，從 2 開始將乘積加 1，以獲得下一個質數。下一個質數與乘積之差就是所需的幸運數。

虛擬程式碼

procedure nthFortunate (n)
   MAX is set
   prime[MAX] = {true}
   prime[0] = false
   prime[1] = false
   for i = 1 to i*i <= MAX
      if prime[i]
         for j = i*i to MAX with j = j + i in each iteration
            prime [j] = false
      end if
   prod = 1
   count = 0
   for i = 2 to count < n
      if prime[i]
         prod = prod * i
         count = count + 1
      end if
   nextPrime = prod + 2
   while nextPrime is not prime
      nextPrime = nextPrime + 1
   ans = nextPrime - prod
end procedure

範例：C 實作

在下面的程式中，大小為 MAX 的布林素數數組記錄了 MAX 之前的所有質數。然後透過將前 n 個質數相乘來找到原初。然後與之前的方法類似，找到nextPrime。 nextPrime 和 Product 的差別在於幸運數字。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find the nth Fortunate number
unsigned long long int nthFortunate(int n){

   // Setting upper limit for Sieve of Eratosthenes
   const unsigned long long int MAX = 1000000000;
   vector<bool> prime(MAX, true);
   prime[0] = prime[1] = false;
   
   // Sieve of Eratosthenes to find all primes up to MAX
   for (unsigned long long int i = 2; i * i <= MAX; i++){
      if (prime[i]){
      
         // Setting all the multiples of i to false
         for (int j = i * i; j <= MAX; j += i){
            prime[j] = false;
         }
      }
   }
   
   // Find the first n primes and calculate their product
   unsigned long long int prod = 1, count = 0;
   for (unsigned long long int i = 2; count < n; i++){
      if (prime[i]){
         prod *= i;
         count++;
      }
   }
   
   // Find next prime greater than product
   unsigned long long int nextPrime = prod + 2;
   while (!prime[nextPrime])
      nextPrime++;
      
   // Fortunate number is difference between prime and product
   return nextPrime - prod;
}
int main(){
   int n = 25;
   cout << n << "th Fortunate number : " << nthFortunate(n);
   return 0;
}

輸出

15th Fortunate number : 107

時間複雜度 - O(n log(log(n)))

空間複雜度 - O(MAX)

結論

綜上所述，第n個幸運數可以透過以下兩種方式找到。

初等方法：求前n個質數的乘積，並根據乘積計算下一個質數。質數與乘積之差是第 n 個幸運數。

埃拉托斯特尼篩法：找出所有達到某個極限的質數，然後計算與下一個質數的乘積，從而找到幸運數。

僅由於變數大小的限制，這兩種方法對於較小的 n 值都是有效的。對於更大的值，需要更有效率和最佳化的解決方案。

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