計算所有整數的排列，這些排列可以根據給定的條件形成一個無環圖

對於整數N以內的階段進行計數，形成非循環圖需要對每一個可能的變化進行調查，並檢查它們是否根據給定條件形成非循環圖。這些條件可能與由變化形成的協調圖結構相關，其中循環的缺失表示非循環性。這個問題涉及圖論的概念，並可以透過​​深度優先搜尋或動態規劃來解決。深度優先搜尋透過遞歸地調查每個階段，動態規劃透過儲存中間結果來優化循環。最後計數的有效階段數顯示了整數N以內可以組織成滿足預定條件的非循環圖的方式數

使用的方法

• 深度優先搜尋 (DFS)

• 動態規劃

深度優先搜尋（DFS）

在產生具有給定操作的分組的DFS方法中，我們從給定的數字開始，透過重新計算直到達到值1。我們按照以下方式繼續進行：如果數字確實為2，則將其除以2；如果是奇數，則將其乘以3並加1。我們更新數字以反映未使用的結果，並將其添加到序列中。這個過程持續到數字達到1。所得到的序列表示給定起始數字的重複Collat​​z序列。這種方法讓我們可以追蹤數字透過重複計算而改變的進展，揭示模式，並考慮Collat​​z序列的行為。它提供了一種簡單且可重複的方法來產生序列，並分析這一數學奇蹟的迷人特徵。

演算法

• 選擇起始樞紐來開始穿越

• 將中心標記為已訪問，以監控哪些中心已經主動進行了調查。

• 訪問正在進行的中心節點的未訪問鄰居（如果有）。要確定正在進行的中心節點的鄰居，您確實需要了解圖的傳染性描述（例如，接近度列表或接近度框架）

• 假設存在未訪問的鄰居，選擇其中一個並從該鄰居重新進行第2到第4階段的重新散列（遞歸地）

• 假設沒有未造訪的鄰居，回溯到過去的中心，並從那個點繼續進行調查（如果可能的話）。這一步驟對於探索圖中所有潛在路徑至關重要

• 重新進行2到5階段的哈希，直到圖表中的所有中心節點都被存取。如果圖表未連接（包含多個部分），您可能需要從未造訪的中心節點開始進行深度優先搜尋（DFS）。

Example

的中文翻譯為：

範例

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

void dfs(int node, vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited) {
   visited[node] = true;
   cout << "Visited hub: " << node << endl;
   for (int neighbor : graph[node]) {
      if (!visited[neighbor]) {
         cout << "Moving to neighbor: " << neighbor << endl;
         dfs(neighbor, graph, visited);
      }
   }
}

int main() {
   vector<vector<int>> graph = {
      {1, 2},
      {0, 2, 3},
      {0, 1, 3},
      {1, 2, 4},
      {3}
   };
   int hubs = graph.size();
   vector<bool> visited(hubs, false);
   int startingHub = 0;
   cout << "DFS Traversal starting from hub " << startingHub << ":" << endl;
   dfs(startingHub, graph, visited);
   return 0;
}

輸出

DFS Traversal starting from hub 0:
Visited hub: 0
Moving to neighbor: 1
Visited hub: 1
Moving to neighbor: 2
Visited hub: 2
Moving to neighbor: 3
Visited hub: 3
Moving to neighbor: 4
Visited hub: 4

動態規劃

在這個方法中，我們可以利用動態規劃來有效地計算到達N的非循環階段的數量。我們將定義一個DP表，其中dp[i]表示以數字I結尾的非循環轉換的數量。

演算法

• 調查問題並決定是否可以將其分解為較小的子問題。如果多次解決相同的子問題是低效的，動態規劃可以透過記住子問題的解決方案來改善解決方案。

• 將一個更大問題的安排表達為其子問題的安排。這種重複連接是使用DP解決問題的關鍵。

• 鑑於重複的連接，製作一個表格或展示來儲存子問題的答案。這將防止重複計算。

• 從最小的子問題開始填寫表格，通常採用自底向上的方式，或者使用記憶化來在遞歸過程中儲存和檢索解決方案

• 當所有子問題都解決完畢時，將最後的排列從DP表或記憶化展示中分離出來。

Example

的中文翻譯為：

範例

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int knapsackHelper(vector<vector<int>>& dp, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n, int capacity) {
   if (n == 0 || capacity == 0) {
      return 0;
   }

   if (dp[n][capacity] != -1) {
      return dp[n][capacity];
   }

   if (weights[n - 1] <= capacity) {
      dp[n][capacity] = max(values[n - 1] + knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity - weights[n - 1]),
                      knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity));
   } else {
      dp[n][capacity] = knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity);
   }

   return dp[n][capacity];
}

int knapsack(vector<int>& weights, vector<int>& values, int capacity) {
   int n = weights.size();
   vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(capacity + 1, -1));
   return knapsackHelper(dp, weights, values, n, capacity);
}

int main() {
   vector<int> weights = {10, 20, 30};
   vector<int> values = {60, 100, 120};
   int capacity = 50;
   cout << "Maximum value in Knapsack: " << knapsack(weights, values, capacity) << endl;
   return 0;
}

輸出

Maximum value in Knapsack: 220

結論

計算可以形成非循環圖的階段包括研究整數的不同排列方式，以確保它們滿足給定的條件。 DFS遞歸地探索階段，而DP透過記憶化改進循環。這兩種方法提供了解決這個問題的重要方法。方法的選擇取決於限制條件和N的大小。透過這些方法，我們可以有效率地找到合法階段的數量，幫助我們理解數字可以按照預定條件形成非循環圖的方式。

以上是計算所有整數的排列，這些排列可以根據給定的條件形成一個無環圖的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！