頂點度數之和為L的樹的數量

給定整數度數L的樹的數量可以透過基於圖假設的方程式來決定。首先，我們注意到具有N個頂點的樹的整數度數連續為2N-2。利用這一點，我們可以計算樹中的清除數，也就是L減2。另一種方法是從總頂點數中減去起飛數來確定內部頂點數。最後，我們可以透過使用組合方程式來確定在內部頂點之間分配剩餘度數的方式數量。因此，可以使用這些步驟來計算整數度數L的樹的數量。

使用的方法

• 遞迴枚舉

• #組合分析

遞歸枚舉

遞歸計數可以是一種確定具有給定度數L的樹的數量的策略。從一個單獨的頂點開始，我們系統地包含現代頂點和邊來建立樹。在每一步中，我們在保持指定總和的同時傳遞現有頂點之間的剩餘度數。這個處理過程被遞歸地重複，探索所有可能的組合。透過回溯和考慮不同的度數，我們能夠確定有效樹的數量。這種方法對於較小的輸入大小非常有用，但對於較大的L值可能會變得低效，因為它的時間複雜度是指數級的。

演算法

• 定義一個遞歸函數countTrees(L, vertexCount)，其中L是所需的度數總和，vertexCount表示樹中的頂點數。

• 基本情況。

• 如果L與2平衡，且vertexCount等於1，則傳回1（因為單一頂點可以是實質的樹）。將變數treeCount初始化為0。

• 從1到L-1遍歷目前頂點的可能度數。

• 循環內部。

• 從目前度數中減去L，並使用升級後的L和vertexCount-1遞歸呼叫countTrees。將傳回的值賦給treeCount。返回treeCount。

• 呼叫計數。樹與所需的L和起始頂點計數（根據規則1）一起工作，以獲得具有給定度數總和的樹的數量。

Example

的中文翻譯為：

範例

#include <iostream>

int countTrees(int L, int vertexCount) {
   if (L == 2 && vertexCount == 1) {
     return 1;
   }

   int treeCount = 0;
   for (int degree = 1; degree <= L - 1; degree++) {
      int remainingSum = L - degree;
      int subTreeCount = countTrees(remainingSum, vertexCount - 1);
      treeCount += subTreeCount;
   }

   return treeCount;
}

int main() {
   int L = 8;
   int vertexCount = 4;

   int numTrees = countTrees(L, vertexCount);
   std::cout << "Number of trees with sum of degrees " << L << " and " << vertexCount << " vertices: " << numTrees << std::endl;

   return 0;
}

輸出

Number of trees with sum of degrees 8 and 4 vertices: 10

組合分析

組合分析是在確定具有給定度數總和L的樹的數量時，考慮樹的結構並利用組合策略對其進行編號的過程。它涉及分析度數的要求，確定內部頂點的數量並將其清除，並將剩餘的度數分配給它們。透過利用組合、階段和重複關係等概念，組合分析允許推導出方程式或計算方法，以精確計算具有特定度數總和L的樹的數量。這種方法利用科學標準有效率且熟練地解決問題。

演算法

• 將變數count_trees初始化為0。

• 從1到L-2迭代可能的濾波器數量，i。

• 計算內部頂點的數量，即 L - i。

• 使用組合方法將剩餘的度數分配給內部頂點。您可以使用遞歸方法或動態規劃來計算這個分佈。

• 透過在內部頂點之間傳遞度數的方式和選擇葉子的方式，將 count_trees 增加到項目的數量。

• 將count_trees當作結果傳回。

Example

的中文翻譯為：

範例

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

int countTrees(int L) {
   int count_trees = 0;
   for (int i = 1; i <= L - 2; i++) {
      int internal_vertices = L - i;
        
      // Calculate the number of ways to distribute degrees among internal vertices
      std::vector<int> degrees(internal_vertices - 2, 1);
      degrees.push_back(2);
        
      do {
         // Calculate the number of ways to select the leaves
         int leaf_selection = std::count_if(degrees.begin(), degrees.end(), [](int x) {
            return x == 1;
         });
            
         count_trees += leaf_selection;
      } while (std::next_permutation(degrees.begin(), degrees.end()));
   }

   return count_trees;
}

int main() {
   int L = 10; // Assuming L = 10
   int result = countTrees(L);

   std::cout << "Number of trees: " << result << std::endl;

   return 0;
}

輸出

Number of trees: 168

結論

本文探討了在圖表中確定具有特定度數的樹的數量的兩種策略。主要策略是遞歸識別，它透過有效地添加頂點和邊來創建樹，並傳遞剩餘的度數。第二種策略是組合分析，它利用數值標準和組合方法來計算透過在頂點之間傳遞度數來確定樹的數量。這兩種方法都提供了有效解決問題的方式，並且在完全不同的場景中都是相關的。

以上是頂點度數之和為L的樹的數量的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！