使用Python進行主成分分析

簡介

主成分分析（PCA）是一種廣泛使用的統計技術，用於資料分析中的降維和特徵提取。它提供了一個強大的框架來揭示高維度資料集中的底層模式和結構。隨著 Python 中大量函式庫和工具的出現，PCA 的實作變得容易且簡單。在這篇文章中，我們將研究 Python 中的主成分分析，回顧其理論、實作和實際應用。

我們將逐步介紹使用 NumPy 和 scikitlearn 等流行的 Python 工具進行 PCA 的步驟。透過學習 PCA，您將學習如何降低資料集的維度、提取重要特徵以及在低維空間中顯示複雜的資料。

了解主成分分析

使用稱為主成分分析的統計方法將資料集統計轉換為稱為主成分的新變數集合。構成這些分量的初始變數的線性組合會根據相關性進行排列。每個後續成分盡可能解釋剩餘的變化，第一個主成分捕獲數據中的最大變化。

PCA 背後的數學

PCA 中使用了許多數學思想和計算。以下是完成 PCA 的關鍵操作：

• 標準化：資料集的屬性必須標準化，以便它們具有單位變異數和零平均值。每個變數對 PCA 的貢獻因此得以平衡。

• 協方差矩陣：為了理解資料集中的各個變數如何相互關聯，產生了協方差矩陣。它衡量一個變數的變化如何影響另一個變數的變化。

• 特徵分解：協方差矩陣被分解為其特徵向量和特徵值。特徵向量表示方向或主成分，而特徵值則量化每個特徵向量解釋的變異量。

• 主成分的選擇：選擇最高特徵值對應的特徵向量作為主成分。這些組件捕獲數據中最顯著的方差。

• 投影：將原始資料集投影到由所選主成分跨越的新子空間上。這種轉換降低了資料集的維度，同時保留了基本資訊。

Python 中 PCA 的實作

範例

import numpy as np 
from sklearn.decomposition import PCA 
 
# Sample data 
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]]) 
 
# Instantiate PCA with desired number of components 
pca = PCA(n_components=2) 
 
# Fit and transform the data 
X_pca = pca.fit_transform(X) 
 
# Print the transformed data 
print(X_pca) 

輸出

[[-7.79422863  0.        ] 
 [-2.59807621  0.        ] 
 [ 2.59807621  0.        ] 
 [ 7.79422863 -0.        ]] 

PCA 的優點

• 特徵提取：PCA 也可用來提取特徵。我們可以透過選擇主成分的子集（即 PCA 產生的轉換變數）來分離資料集最具指導性的特徵。此方法有助於減少用於表示資料的變數數量，同時保持最重要的細節完整。當處理原始特徵之間具有高度相關性的資料集或存在許多重複或不相關的特徵時，使用 PCA 進行特徵提取會特別有用。

• 資料視覺化：PCA 可以在低維空間中實現高維度資料的視覺化。透過繪製代表變換變數的主成分，可以觀察到資料點之間的模式、聚類或關係。這種視覺化有助於理解資料集的結構和特徵。透過將資料簡化為二維或三維，PCA 可以創建富有洞察力的繪圖和圖表，從而促進資料探索、模式識別和異常值識別。

• 降噪：捕獲資料中最低程度變異數或波動的主要組成部分有時可能被稱為雜訊。為了對數據進行去噪並專注於最重要的信息，PCA 可以透過從研究中排除某些組件來提供幫助。由於此過濾過程，可以更好地理解資料集中的底層模式和關係。當處理雜訊或骯髒的資料集時，當需要將重要訊號與雜訊分離時，使用 PCA 降噪尤其有用。

• 多重共線性偵測：當資料集中的自變數具有顯著相關性時，就會出現多重共線性。 PCA 可以透過評估主成分的相關模式來幫助識別多重共線性。透過檢查組件之間的連接來找出導致多重共線性的變數是可行的。了解這些資訊可能會有益於數據分析，因為多重共線性可能導致模型不穩定以及對變數之間聯繫的錯誤解釋。透過解決多重共線性問題（例如透過變數選擇或模型變更），分析可以更加可靠和有彈性。

PCA 的實際例子

主成分分析 (PCA) 是一種通用技術，可在各個領域找到應用。讓我們探討一些 PCA 可以發揮作用的實際範例：

• 圖片壓縮：PCA 是一種壓縮視覺資料同時保留關鍵細節的技術。在影像壓縮中，PCA 可用於將高維像素資料轉換為低維表示。透過使用較小的主要組件集來表達圖片，我們可以在不犧牲視覺品質的情況下大幅減少儲存需求。包括多媒體儲存、傳輸和影像處理在內的多種應用已廣泛使用基於 PCA 的影像壓縮方法。

• 遺傳學和生物資訊學：基因組和生物資訊學研究人員經常利用 PCA 來評估基因表現數據、尋找遺傳標記並檢查群體模式。在基因表現分析中，高維基因表現譜可以壓縮為較少數量的主要成分。這種減少使得人們更容易看到和理解基因之間的潛在模式和連結。基於 PCA 的生物資訊方法改善了疾病診斷、藥物發現和客製化治療。

• 財務分析：財務分析將 PCA 用於多種目的，包括投資組合最佳化和風險管理。可以使用主成分分析 (PCA) 找到投資組合中捕獲資產回報最大差異的主要成分。 PCA 有助於識別驅動資產回報的隱藏因素，並透過降低金融變數的維度來量化其對投資組合風險和績效的影響。在金融領域，因子分析、風險建模和資產配置都使用了基於 PCA 的方法。

• 電腦視覺：電腦視覺任務（例如物件和臉部辨識）很大程度上依賴 PCA。 PCA 可用於提取臉部圖片的主要成分並在臉部辨識中的低維子空間中表示臉部。基於 PCA 的方法透過收集關鍵的臉部特徵來提供有效的臉部辨識和身份驗證系統。為了降低圖片描述符的維度並提高辨識演算法的有效性和精確度，PCA也被應用於物體辨識中。

結論

主成分分析 (PCA) 是一種強大的降維、特徵提取和資料探索方法。它提供了一種將高維資料縮小到較低維空間而不丟失最關鍵細節的方法。在這篇文章中，我們介紹了 PCA 的基本概念、它使用 scikit-learn 在 Python 中的實現，以及它在各個領域的應用。分析師和資料科學家可以利用 PCA 改進資料視覺化、簡化建模活動並從大型複雜資料集中提取有用的見解。資料科學家的工具包應該包括 PCA，它經常用於特徵工程、探索性資料分析和資料預處理。

以上是使用Python進行主成分分析的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！