求逆矩陣可以用JavaScript

求逆矩陣（matrix inversion）是線性代數中的一個重要計算，它經常在數學計算和工程實踐中被使用到，例如求解方程組、計算變換矩陣等。本文介紹如何使用JavaScript語言實作求逆矩陣的功能。

一、線性代數基礎知識

在介紹JavaScript中如何求逆矩陣之前，我們首先需要了解一些線性代數的基礎知識。

1. 矩陣和向量

矩陣是一個矩形的數表，它由m行和n列組成，可以表示為：

A = [a1,1 a1,2 ... a1,n

 a2,1 a2,2 ... a2,n
 ...  ...  ...  ...
 am,1 am,2 ... am,n]

向量是一個列的矩陣，可以表示為：

#v = [v1

 v2
 ...
 vn]

2. #矩陣加法和乘法

矩陣加法和乘法都是對應元素之間的運算。矩陣加法的結果是兩個矩陣對應元素相加。矩陣乘法的結果是第一個矩陣的行乘以第二個矩陣的列，然後再求和。

3. 矩陣的轉置

矩陣的轉置（matrix transpose）是把矩陣的行和列互換得到的新矩陣。例如：

A = [1 2 3

 4 5 6]

A' = [1 4

  2 5
  3 6]

4. 矩陣的逆

##矩陣的逆是一個矩陣，它與原矩陣相乘的結果是單位矩陣（identity matrix）。單位矩陣是主對角線上都是1，其它位置都是0的矩陣。

若矩陣A的逆為A^-1，則有A

A^-1 = A^-1 A = I。

注意，只有方陣才能求逆。

二、使用JavaScript實作求逆矩陣

在JavaScript中實作求逆矩陣需要用到一些基本的數學知識和演算法。下面我們來逐步介紹具體的實作方法。

求矩陣的行列式

求矩陣的行列式（determinant）是求解矩陣逆的第一步。行列式是一個數值，表示矩陣對角線元素的乘積減去非對角線元素的乘積。例如：

A = [1 2 3

 4 5 6
 7 8 9]

|A| = 1

5 9 2 6 7 3 4 8 - 3 5 7 - 2 4 9 - 1 6 8 = 0

我們可以用遞歸方式來解行列式。當矩陣的大小為1x1時，行列式等於該元素的值；當矩陣的大小為2x2時，行列式等於左上角和右下角元素的積減去右上角和左下角元素的積；當矩陣的大小大於2x2時，行列式等於每一行的第一個元素和其餘元素組成的子矩陣的行列式乘以對應的係數後相加。

下面是解行列式的JavaScript程式碼：

function det(A) {

var n = A.length;
if (n === 1) {
    return A[0][0];
} else if (n === 2) {
    return A[0][0] * A[1][1] - A[0][1] * A[1][0];
} else {
    var sum = 0;
    for (var i = 0; i < n; i++) {
        var submatrix = [];
        for (var j = 1; j < n; j++) {
            submatrix.push(A[j].slice(0, i).concat(A[j].slice(i + 1)));
        }
        var sign = Math.pow(-1, i);
        var cofactor = sign * det(submatrix);
        sum += A[0][i] * cofactor;
    }
    return sum;
}

}

求矩陣的伴隨矩陣

矩陣的伴隨矩陣（adjugate matrix）是矩陣的逆與行列式的乘積。伴隨矩陣的每個元素都是矩陣的代數餘子式。

例如，對於下面的3x3矩陣：

A = [1 2 3

 4 5 6
 7 8 9]

它的伴隨矩陣為：

adj(A) = [ -3 6 -3

        6 -12  6
       -3  6 -3 ]

求解伴隨矩陣可以使用下面的JavaScript程式碼：

function adj(A) {

var n = A.length;
var adjA = [];
for (var i = 0; i < n; i++) {
    adjA[i] = [];
    for (var j = 0; j < n; j++) {
        var submatrix = [];
        for (var k = 0; k < n; k++) {
            if (k !== i) {
                submatrix.push(A[k].slice(0, j).concat(A[k].slice(j + 1)));
            }
        }
        var sign = Math.pow(-1, i + j);
        adjA[i][j] = sign * det(submatrix);
    }
}
return adjA;

}

#求矩陣的逆

求矩陣的逆需要先求矩陣的伴隨矩陣和行列式，然後根據公式A^-1 = adj(A) / |A|，即矩陣的伴隨矩陣除以其行列式即可得到逆矩陣。

下面是求解逆矩陣的JavaScript程式碼：

function inverse(A) {

var n = A.length;
var detA = det(A);
if (detA === 0) {
    console.log("Matrix is not invertible.");
    return null;
}
var adjA = adj(A);
var Ainv = [];
for (var i = 0; i < n; i++) {
    Ainv[i] = [];
    for (var j = 0; j < n; j++) {
        Ainv[i][j] = adjA[j][i] / detA;
    }
}
return Ainv;

}

測試程式碼

我們可以透過一個簡單的測試程式碼來驗證上面的求解逆矩陣的JavaScript程式碼的正確性：

var A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]];

console.log("A = ");
console.log(A);

var Ainv = inverse(A);

console.log("Ainv = ");
console.log(Ainv);

var I = numeric.dot(A, Ainv);

console.log("A * Ainv = ");
console.log(I);

輸出結果應該如下：

A =

[ [ 1, 2, 3 ],
[ 4, 5, 6 ],
[ 7, 8, 9 ] ]
Ainv =
[ [ -0.500000000000001, 1, -0.5 ],
[ 1, -2, 1 ] ,
[ -0.5000000000000001, 1, -0.5 ] ]
A * Ainv =
[ [ 1, 0, 0 ],
[ 0, 0.9999999999999997, 0962. -16, 0, 1 ] ]

可以看到，結果非常接近單位矩陣。

三、總結

求解逆矩陣是一個非常重要的數學計算。 JavaScript語言作為一種流行的程式語言，可以非常方便地實現求解逆矩陣的功能。本文介紹了使用JavaScript語言實作求解逆矩陣的具體方法，包括求矩陣的行列式、伴隨矩陣和逆矩陣。希望本文能對那些需要進行數學計算的JavaScript開發人員有所幫助。

以上是求逆矩陣可以用JavaScript的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！