Java如何求最小生成樹
- WBOY轉載
- 2023-04-29 18:58:13719瀏覽
1 最小生成樹的概述
生成樹（SpanningTree）：一個連通圖的生成樹是指一個連通子圖，它含有圖中全部n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。一顆有n個頂點的生成樹有且僅有n-1條邊，如果生成樹中再添加一條邊，則必定成環。
最小生成樹（Minimum Spanning Tree）：在連通圖的所有生成樹中，所有邊的權值和最小的生成樹，稱為最小生成樹。
在生活中，圖形結構的應用是最廣泛的。例如常見的通訊網路搭建路線選擇，村莊可以看作頂點，村莊之間如果有通訊路徑，則算是兩點之間的邊或是弧，兩個村莊之間的通訊成本，可以看作邊或是弧的權值。
上圖是生活中通訊網路搭建路線的選擇映射到圖形結構的案例。頂點作為村莊，村莊之間如果有通信路徑則擁有邊，村莊的之間的通信搭建成本則是邊的權值。
一種很常見的需求是要求對於能夠通信的村莊都必須通信，並且通信建設成本和最小，畢竟經費“有限”，省下來的經費，嘿嘿！
上面的問題，轉換為數學模型，就是求一個圖的最小生成樹的問題，即：選出一條路線，連通了所有能夠連通頂點，並且權值和最小。這樣的問題已經有了很多種解法，最經典的有兩種演算法，普里姆（Prim）演算法和克魯斯卡爾（Kruskal)演算法。
2 普里姆演算法（Prim）
2.1 原理
普里姆（Prim）演算法是以某頂點為起點，假設所有頂點均未連接，逐步找各頂點上最小權值的邊來連接並建構最小生成樹。是以點為目標去建構最小生成樹。
具體的步驟是： 首先隨機選取一個頂點a，尋找頂點a可連接所有的頂點，選擇一個權值低的頂點進行連接；然後尋找與這兩個頂點或可連接的所有頂點，選擇一個權值低的頂點與其中一個頂點進行連接；如此往復n-1次，每次選擇距離任一個已連接末端頂點最短的頂點（而不是距離首個頂點最短的頂點）進行連接，直到所有的頂點都進行連接，至此最小生成樹建構完畢。
2.2 案例分析
此案例對應著下面實作程式碼中的案例。
在上面的圖中，首先選擇頂點A作為已連接點，尋找頂點A可連接所有的頂點C、D、F，選擇一個權值低的頂點進行連接，這裡選擇A-C；
然後尋找與A或C可連接的所有頂點（排除已連接的點），找到B、D、F，共有4條邊可選，A-D、A-F、C-B、C-D，選擇一個權值低的頂點與其中一個頂點進行連接，這裡明顯選擇A-D連接；
然後尋找與A或C或D可連接的所有頂點（排除已連接的點），找到B、F，一共有3條邊可選，C-B、D-B、A-F，選擇一個權值低的頂點與其中一個頂點進行連接，這裡明顯選擇A-F連接；
然後尋找與A或C或D或F可連接的所有頂點（排除已連接的點），找到B 、G，一共有3條邊可選，C-B、D-B、F-G，選擇一個權值低的頂點與其中一個頂點進行連接，這裡明顯選擇C-B連接；
然後尋找與A或C或D或F或B可連接的所有頂點（排除已連接的點），找到E、G，一共有2條邊可選，B-E、F-G，選擇一個權值低的頂點與其中一個頂點進行連接，這裡明顯選擇B-E連接；
#然後尋找與A或C或D或F或B或E可連接的所有頂點（排除已連接的點），找到G，一共有2條邊可選，E-G、F-G，選擇一個權值低的頂點與其中一個頂點進行連接，這裡明顯選擇E-G連接；
所有的頂點連結完畢，此時最小生成樹已經建構好了，最小權值為23。
3 克魯斯卡爾演算法（Kruskal）
3.1 原理
克魯斯卡爾演算法（Kruskal）根據邊的權值以遞增的方式逐漸建立最小生成樹，是以邊為目標去建構最小生成樹。
具體的步驟是： 將加權圖每個頂點都看做森林，然後將圖中每條鄰接邊的權值按照升序的方式進行排列，接著從排列好的鄰接邊表中抽取權值最小的邊，寫入該邊的起始頂點和結束頂點，連接頂點將森林構成樹，然後讀取起始結束頂點的鄰接邊，優先抽取權值小的鄰接邊，繼續連接頂點將森林構成樹。增加鄰接邊的要求是加入到圖中的鄰接邊不構成迴路（環）。如此反覆進行，直到已經添加n-1條邊為止。至此最小生成樹建置完畢。
3.2 案例分析
此案例對應著下面實作程式碼中的案例，傳統Kruskal演算法過程如下：
首先取得邊集陣列並依照權值重小到大進行排序，在程式碼中的排序本人直接使用的sort排序，也可以自己實作堆排序，排序後結果如下：
Edge{from=A, to=C, weight=1 }
Edge{from=D, to=A, weight=2}
Edge{from=A, to=F, weight=3}
Edge{from=B, to=C, weight= 4}
Edge{from=C, to=D, weight=5}
Edge{from=E, to=G, weight=6}
Edge{from=E, to=B,weight =7}
Edge{from=D, to=B, weight=8}
Edge{from=F, to=G, weight=9}
循環取出第1條邊A-C，判斷與已找到的最小生成樹不會形成環，權值總和增加1，繼續；
循環取出第2條邊D-A，判斷與已找到的最小生成樹不會形成環，權值總和增加2，繼續；
#循環取出第3條邊A-F，判斷與已找到的最小生成樹不會形成環，權值總和增加3，繼續；
循環取出第4邊B-C，判斷與已經找到的最小生成樹不會形成環，權值總和增加4，繼續；
循環取出第5邊C-D，判斷與已找到的最小生成樹會形成環，該條邊丟棄，繼續；
循環取出第6條邊E-G，判斷與已找到的最小生成樹不會形成環，權值總和增加6，繼續；
循環取出第7條邊E-B，判斷與已找到的最小生成樹不會形成環，權值總和增加7，繼續；
##循環取出第9條邊F-G，判斷與已找到的最小生成樹會形成環，該條邊丟棄，繼續；
此時循環結束，那麼最小生成樹也已經找到了，最小生成樹的權值總和為23。
上面步驟中，判斷是否形成環很關鍵，通常的做法是，對已經找到的最小生成樹的頂點進行排序（從起點到終點)，然後每新增加一條邊，就使用新添加邊的起點和終點取最小二叉樹中尋找，排序後的終點，找到的終點一致，則說明最小生成樹加上這條邊就會形成環，否則說明不會，那麼更新排序的終點。
4 鄰接矩陣加權圖實作
這裡的實作能夠建構一個基於鄰接矩陣實現無向加權圖的類，並且提供深度優先遍歷和廣度優先遍歷的方法，提供獲取邊集數組的方法，提供Prim和Kruskal兩種求最小生成樹的方法。
/**
* 无向加权图邻接矩阵实现
* {@link MatrixPrimAndKruskal#MatrixPrimAndKruskal(E[], Edge[])} 构建无向加权图
* {@link MatrixPrimAndKruskal#DFS()} 深度优先遍历无向加权图
* {@link MatrixPrimAndKruskal#BFS()} 广度优先遍历无向加权图
* {@link MatrixPrimAndKruskal#toString()} 输出无向加权图
* {@link MatrixPrimAndKruskal#prim()} Prim算法实现最小生成树
* {@link MatrixPrimAndKruskal#kruskal()} Kruskal算法实现最小生成树
* {@link MatrixPrimAndKruskal#kruskalAndPrim()} Kruskal算法结合Prim算法实现最小生成树
* {@link MatrixPrimAndKruskal#getEdges()} 获取边集数组
*
* @author lx
* @date 2020/5/14 18:13
*/
public class MatrixPrimAndKruskal<E> {
/**
* 顶点数组
*/
private Object[] vertexs;
/**
* 邻接矩阵
*/
private int[][] matrix;
/**
*
*/
private Edge<E>[] edges;
/**
* 由于是加权图,这里设置一个边的权值上限,任何边的最大权值不能大于等于该值，在实际应用中，该值应该根据实际情况确定
*/
private static final int NO_EDGE = 99;
/**
* 边对象,具有权值,在构建加权无向图时使用
*/
private static class Edge<E> {
private E from;
private E to;
private int weight;
public Edge(E from, E to, int weight) {
this.from = from;
this.to = to;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "Edge{" +
"from=" + from +
", to=" + to +
", weight=" + weight +
'}';
}
}
/**
* 创建无向加权图
*
* @param vertexs 顶点数组
* @param edges 边对象数组
*/
public MatrixPrimAndKruskal(Object[] vertexs, Edge<E>[] edges) {
//初始化边数组
this.edges = edges;
// 初始化顶点数组,并添加顶点
this.vertexs = Arrays.copyOf(vertexs, vertexs.length);
// 初始化边矩阵,并预先填充边信息
this.matrix = new int[vertexs.length][vertexs.length];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
if (i == j) {
this.matrix[i][j] = 0;
} else {
this.matrix[i][j] = NO_EDGE;
}
}
}
for (Edge<E> edge : edges) {
// 读取一条边的起始顶点和结束顶点索引值
int p1 = getPosition(edge.from);
int p2 = getPosition(edge.to);
//对称的两个点位都置为edge.weight,无向图可以看作相互可达的有向图
this.matrix[p1][p2] = edge.weight;
this.matrix[p2][p1] = edge.weight;
}
}
/**
* 获取某条边的某个顶点所在顶点数组的索引位置
*
* @param e 顶点的值
* @return 所在顶点数组的索引位置, 或者-1 - 表示不存在
*/
private int getPosition(E e) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == e) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先搜索遍历图,类似于树的前序遍历,
*/
public void DFS() {
//新建顶点访问标记数组,对应每个索引对应相同索引的顶点数组中的顶点
boolean[] visited = new boolean[vertexs.length];
//初始化所有顶点都没有被访问
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
visited[i] = false;
}
System.out.println("DFS: ");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (!visited[i]) {
DFS(i, visited);
}
}
System.out.println();
}
/**
* 深度优先搜索遍历图的递归实现,类似于树的先序遍历
* 因此模仿树的先序遍历,同样借用栈结构,这里使用的是方法的递归,隐式的借用栈
*
* @param i 顶点索引
* @param visited 访问标志数组
*/
private void DFS(int i, boolean[] visited) {
visited[i] = true;
System.out.print(vertexs[i] + " ");
// 遍历该顶点的所有邻接点。若该邻接点是没有访问过，那么继续递归遍历领接点
for (int w = firstVertex(i); w >= 0; w = nextVertex(i, w)) {
if (!visited[w]) {
DFS(w, visited);
}
}
}
/**
* 广度优先搜索图,类似于树的层序遍历
* 因此模仿树的层序遍历,同样借用队列结构
*/
public void BFS() {
// 辅组队列
Queue<Integer> indexLinkedList = new LinkedList<>();
//新建顶点访问标记数组,对应每个索引对应相同索引的顶点数组中的顶点
boolean[] visited = new boolean[vertexs.length];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
visited[i] = false;
}
System.out.println("BFS: ");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (!visited[i]) {
visited[i] = true;
System.out.print(vertexs[i] + " ");
indexLinkedList.add(i);
}
if (!indexLinkedList.isEmpty()) {
//j索引出队列
Integer j = indexLinkedList.poll();
//继续访问j的邻接点
for (int k = firstVertex(j); k >= 0; k = nextVertex(j, k)) {
if (!visited[k]) {
visited[k] = true;
System.out.print(vertexs[k] + " ");
//继续入队列
indexLinkedList.add(k);
}
}
}
}
System.out.println();
}
/**
* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*
* @param v 顶点v在数组中的索引
* @return 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
private int firstVertex(int v) {
//如果索引超出范围,则返回-1
if (v < 0 || v > (vertexs.length - 1)) {
return -1;
}
/*根据邻接矩阵的规律:顶点索引v对应着边二维矩阵的matrix[v][i]一行记录
* 从i=0开始*/
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (matrix[v][i] != 0 && matrix[v][i] != NO_EDGE) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*
* @param v 顶点索引
* @param w 第一个邻接点索引
* @return 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
private int nextVertex(int v, int w) {
//如果索引超出范围,则返回-1
if (v < 0 || v > (vertexs.length - 1) || w < 0 || w > (vertexs.length - 1)) {
return -1;
}
/*根据邻接矩阵的规律:顶点索引v对应着边二维矩阵的matrix[v][i]一行记录
* 由于邻接点w的索引已经获取了,所以从i=w+1开始寻找*/
for (int i = w + 1; i < vertexs.length; i++) {
if (matrix[v][i] != 0 && matrix[v][i] != NO_EDGE) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 输出图
*
* @return 输出图字符串
*/
@Override
public String toString() {
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
stringBuilder.append(matrix[i][j]).append("\t");
}
stringBuilder.append("\n");
}
return stringBuilder.toString();
}
/**
* Prim算法求最小生成树
*/
public void prim() {
System.out.println("prim: ");
//对应节点应该被连接的前驱节点,用来输出
//默认为0,即前驱结点为第一个节点
int[] mid = new int[matrix.length];
//如果某顶点作为末端顶点被连接，对应位置应该为true
//第一个顶点默认被连接
boolean[] connected = new boolean[matrix.length];
connected[0] = true;
//存储未连接顶点到已连接顶点的最短距离(最小权)
int[] dis = new int[matrix.length];
//首先将矩阵第一行即其他顶点到0索引顶点的权值拷贝进去
System.arraycopy(matrix[0], 0, dis, 0, matrix.length);
//存储路径长度
int sum = 0;
//最小权值
int min;
/*默认第一个顶点已经找到了,因此最多还要需要大循环n-1次*/
for (int k = 1; k < matrix.length; k++) {
min = NO_EDGE;
//最小权值的顶点的索引
int minIndex = 0;
/*寻找权值最小的且未被连接的顶点索引*/
for (int i = 1; i < matrix.length; i++) {
//排除已连接的顶点,排除权值等于0的值,这里权值等于0表示已生成的最小生成树的顶点都未能与该顶点连接
if (!connected[i] && dis[i] != 0 && dis[i] < min) {
min = dis[i];
minIndex = i;
}
}
//如果没找到,那么该图可能不是连通图,直接返回了,此时最小生成树没啥意义
if (minIndex == 0) {
return;
}
//权值和增加
sum += min;
//该新连接顶点对应的索引值变成true,表示已被连接,后续判断时跳过该顶点
connected[minIndex] = true;
//输出对应的前驱顶点到该最小顶点的权值
System.out.println(vertexs[mid[minIndex]] + " ---> " + vertexs[minIndex] + " 权值:" + min);
/*在新顶点minIndex加入之前的其他所有顶点到连接顶点最小的权值已经计算过了
因此只需要更新其他未连接顶点到新连接顶点minIndex是否还有更短的权值,有的话就更新找到距离已连接的顶点权最小的顶点*/
for (int i = 1; i < matrix.length; i++) {
//如果该顶点未连接
if (!connected[i]) {
/*如果新顶点到未连接顶点i的权值不为0,并且比原始顶点到未连接顶点i的权值还要小,那么更新对应位置的最小权值*/
if (matrix[minIndex][i] != 0 && dis[i] > matrix[minIndex][i]) {
//更新最小权值
dis[i] = matrix[minIndex][i];
//更新前驱节点索引为新加入节点索引
mid[i] = minIndex;
}
}
}
}
System.out.println("sum: " + sum);
}
/**
* Kruskal算法求最小生成树传统实现,要求知道边集数组,和顶点数组
*/
public void kruskal() {
System.out.println("Kruskal: ");
//由于创建图的时候保存了边集数组,这里直接使用就行了
//Edge[] edges = getEdges();
//this.edges=edges;
//对边集数组进行排序
Arrays.sort(this.edges, Comparator.comparingInt(o -> o.weight));
// 用于保存已有最小生成树中每个顶点在该最小树中的最终终点的索引
int[] vends = new int[this.edges.length];
//能够知道终点索引范围是[0,this.edges.length-1],因此填充edges.length表示没有终点
Arrays.fill(vends, this.edges.length);
int sum = 0;
for (Edge<E> edge : this.edges) {
// 获取第i条边的起点索引from
int from = getPosition(edge.from);
// 获取第i条边的终点索引to
int to = getPosition(edge.to);
// 获取顶点from在"已有的最小生成树"中的终点
int m = getEndIndex(vends, from);
// 获取顶点to在"已有的最小生成树"中的终点
int n = getEndIndex(vends, to);
// 如果m!=n，意味着没有形成环路,则可以添加,否则直接跳过,进行下一条边的判断
if (m != n) {
//添加设置原始终点索引m在已有的最小生成树中的终点为n
vends[m] = n;
System.out.println(vertexs[from] + " ---> " + vertexs[to] + " 权值:" + edge.weight);
sum += edge.weight;
}
}
System.out.println("sum: " + sum);
//System.out.println(Arrays.toString(this.edges));
}
/**
* 获取顶点索引i的终点如果没有终点则返回顶点索引本身
*
* @param vends 顶点在最小生成树中的终点
* @param i 顶点索引
* @return 顶点索引i的终点如果没有终点则返回顶点索引本身
*/
private int getEndIndex(int[] vends, int i) {
//这里使用循环查找的逻辑,寻找的是最终的终点
while (vends[i] != this.edges.length) {
i = vends[i];
}
return i;
}
/**
* 如果没有现成的边集数组，那么根据邻接矩阵结构获取图中的边集数组
*
* @return 图的边集数组
*/
private Edge[] getEdges() {
List<Edge> edges = new ArrayList<>();
/*遍历矩阵数组 只需要遍历一半就行了*/
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
//如果存在边
if (matrix[i][j] != NO_EDGE && matrix[i][j] != 0) {
edges.add(new Edge<>(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]));
//edges[index++] = new Edge(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges.toArray(new Edge[0]);
}
/**
* Kruskal结合Prim算法.不需要知道边集,只需要矩阵数组,和顶点数组
* 同样是求最小权值的边,但是有一个默认起点顶点,该起点可以是要求[0,顶点数量-1]之间的任意值，同时查找最小权的边。
* 可能会有Bug,目前未发现
*/
public void kruskalAndPrim() {
System.out.println("kruskalAndPrim: ");
//已经找到的边携带的顶点对应的索引将变为true,其余未找到边对应的顶点将是false
boolean[] connected = new boolean[matrix.length];
//这里选择第一个顶点为起点,表示以该顶点开始寻找包含该顶点的最小边
connected[0] = true;
int sum = 0, n1 = 0, n2 = 0;
//最小权值
int min;
while (true) {
min = NO_EDGE;
/*找出所有带有已找到顶点的边中,最小权值的边,只需要寻找对称矩阵的一半即可*/
//第一维
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
//第二维
for (int j = i + 1; j < matrix.length; j++) {
//排除等于0的,排除两个顶点都找到了的,这里实际上已经隐含了排除环的逻辑,如果某条边的两个顶点都找到了,那么如果算上该条边,肯定会形成环
//寻找剩下的最小的权值的边
if (matrix[i][j] != 0 && connected[i] != connected[j] && matrix[i][j] < min) {
min = matrix[i][j];
n1 = i;
n2 = j;
}
}
}
//如果没找到最小权值,该图可能不是连通图,或者已经寻找完毕,直接返回
if (min == NO_EDGE) {
System.out.println(" sum:" + sum);
return;
}
//已经找到的边对应的两个顶点都置为true
connected[n1] = true;
connected[n2] = true;
//输出找到的边和最小权值
System.out.println(vertexs[n1] + " ---> " + vertexs[n2] + " 权值:" + min);
sum += min;
}
}
public static void main(String[] args) {
//顶点数组
Character[] vexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//边数组,加权值
Edge[] edges = {
new Edge<>('A', 'C', 1),
new Edge<>('D', 'A', 2),
new Edge<>('A', 'F', 3),
new Edge<>('B', 'C', 4),
new Edge<>('C', 'D', 5),
new Edge<>('E', 'G', 6),
new Edge<>('E', 'B', 7),
new Edge<>('D', 'B', 8),
new Edge<>('F', 'G', 9)};
//构建图
MatrixPrimAndKruskal<Character> matrixPrimAndKruskal = new MatrixPrimAndKruskal<Character>(vexs, edges);
//输出图
System.out.println(matrixPrimAndKruskal);
//深度优先遍历
matrixPrimAndKruskal.DFS();
//广度优先遍历
matrixPrimAndKruskal.BFS();
//Prim算法输出最小生成树
matrixPrimAndKruskal.prim();
//Kruskal算法输出最小生成树
matrixPrimAndKruskal.kruskal();
//Kruskal算法结合Prim算法输出最小生成树,可能会有Bug,目前未发现
matrixPrimAndKruskal.kruskalAndPrim();
//获取边集数组
Edge[] edges1 = matrixPrimAndKruskal.getEdges();
System.out.println(Arrays.toString(edges1));
}
}5 鄰接表加權圖實作
這裡的實作能夠建構一個基於鄰接表實作無向加權圖的類別；並且提供深度優先遍歷和廣度優先遍歷的方法，提供取得邊集數組的方法，提供Prim和Kruskal兩種求最小生成樹的方法。
/**
* 无向加权图邻接表实现
* {@link ListPrimAndKruskal#ListPrimAndKruskal(E[], Edge[])} 构建无向加权图
* {@link ListPrimAndKruskal#DFS()} 深度优先遍历无向加权图
* {@link ListPrimAndKruskal#BFS()} 广度优先遍历无向加权图
* {@link ListPrimAndKruskal#toString()} 输出无向加权图
* {@link ListPrimAndKruskal#prim()} Prim算法实现最小生成树
* {@link ListPrimAndKruskal#kruskal()} Kruskal算法实现最小生成树
* {@link ListPrimAndKruskal#getEdges()} 获取边集数组
*
* @author lx
* @date 2020/5/14 23:31
*/
public class ListPrimAndKruskal<E> {
/**
* 顶点类
*
* @param <E>
*/
private class Node<E> {
/**
* 顶点信息
*/
E data;
/**
* 指向第一条依附该顶点的边
*/
LNode firstLNode;
public Node(E data, LNode firstLNode) {
this.data = data;
this.firstLNode = firstLNode;
}
}
/**
* 边表节点类
*/
private class LNode {
/**
* 该边所指向的顶点的索引位置
*/
int vertex;
/**
* 该边的权值
*/
int weight;
/**
* 指向下一条边的指针
*/
LNode nextLNode;
}
/**
* 边对象,具有权值,在构建加权无向图时使用
*/
private static class Edge<E> {
private E from;
private E to;
private int weight;
public Edge(E from, E to, int weight) {
this.from = from;
this.to = to;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "Edge{" +
"from=" + from +
", to=" + to +
", weight=" + weight +
'}';
}
}
/**
* 顶点数组
*/
private Node<E>[] vertexs;
/**
* 边数组
*/
private Edge<E>[] edges;
/**
* 由于是加权图,这里设置一个边的权值上限,任何边的最大权值不能大于等于该值，在实际应用中，该值应该根据实际情况确定
*/
private static final int NO_EDGE = 99;
/**
* 创建无向加权图
*
* @param vexs 顶点数组
* @param edges 边二维数组
*/
public ListPrimAndKruskal(E[] vexs, Edge<E>[] edges) {
this.edges = edges;
/*初始化顶点数组,并添加顶点*/
vertexs = new Node[vexs.length];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
vertexs[i] = new Node<>(vexs[i], null);
}
/*初始化边表,并添加边节点到边表尾部,即采用尾插法*/
for (Edge<E> edge : edges) {
// 读取一条边的起始顶点和结束顶点索引值
int p1 = getPosition(edge.from);
int p2 = getPosition(edge.to);
int weight = edge.weight;
/*这里需要相互添加边节点,无向图可以看作相互可达的有向图*/
// 初始化lnode1边节点
LNode lnode1 = new LNode();
lnode1.vertex = p2;
lnode1.weight = weight;
// 将LNode链接到"p1所在链表的末尾"
if (vertexs[p1].firstLNode == null) {
vertexs[p1].firstLNode = lnode1;
} else {
linkLast(vertexs[p1].firstLNode, lnode1);
}
// 初始化lnode2边节点
LNode lnode2 = new LNode();
lnode2.vertex = p1;
lnode2.weight = weight;
// 将lnode2链接到"p2所在链表的末尾"
if (vertexs[p2].firstLNode == null) {
vertexs[p2].firstLNode = lnode2;
} else {
linkLast(vertexs[p2].firstLNode, lnode2);
}
}
}
/**
* 获取某条边的某个顶点所在顶点数组的索引位置
*
* @param e 顶点的值
* @return 所在顶点数组的索引位置, 或者-1 - 表示不存在
*/
private int getPosition(E e) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i].data == e) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 将lnode节点链接到边表的最后,采用尾插法
*
* @param first 边表头结点
* @param node 将要添加的节点
*/
private void linkLast(LNode first, LNode node) {
while (true) {
if (first.vertex == node.vertex) {
return;
}
if (first.nextLNode == null) {
break;
}
first = first.nextLNode;
}
first.nextLNode = node;
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
stringBuilder.append(i).append("(").append(vertexs[i].data).append("): ");
LNode node = vertexs[i].firstLNode;
while (node != null) {
stringBuilder.append(node.vertex).append("(").append(vertexs[node.vertex].data).append("-").append(node.weight).append(")");
node = node.nextLNode;
if (node != null) {
stringBuilder.append("->");
} else {
break;
}
}
stringBuilder.append("\n");
}
return stringBuilder.toString();
}
/**
* 深度优先搜索遍历图的递归实现,类似于树的先序遍历
* 因此模仿树的先序遍历,同样借用栈结构,这里使用的是方法的递归,隐式的借用栈
*
* @param i 顶点索引
* @param visited 访问标志数组
*/
private void DFS(int i, boolean[] visited) {
//索引索引标记为true ,表示已经访问了
visited[i] = true;
System.out.print(vertexs[i].data + " ");
//获取该顶点的边表头结点
LNode node = vertexs[i].firstLNode;
//循环遍历该顶点的邻接点,采用同样的方式递归搜索
while (node != null) {
if (!visited[node.vertex]) {
DFS(node.vertex, visited);
}
node = node.nextLNode;
}
}
/**
* 深度优先搜索遍历图,类似于树的前序遍历,
*/
public void DFS() {
//新建顶点访问标记数组,对应每个索引对应相同索引的顶点数组中的顶点
boolean[] visited = new boolean[vertexs.length];
//初始化所有顶点都没有被访问
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
visited[i] = false;
}
System.out.println("DFS: ");
/*循环搜索*/
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
//如果对应索引的顶点的访问标记为false,则搜索该顶点
if (!visited[i]) {
DFS(i, visited);
}
}
/*走到这一步,说明顶点访问标记数组全部为true,说明全部都访问到了,深度搜索结束*/
System.out.println();
}
/**
* 广度优先搜索图,类似于树的层序遍历
* 因此模仿树的层序遍历,同样借用队列结构
*/
public void BFS() {
// 辅组队列
Queue<Integer> indexLinkedList = new LinkedList<>();
//新建顶点访问标记数组,对应每个索引对应相同索引的顶点数组中的顶点
boolean[] visited = new boolean[vertexs.length];
//初始化所有顶点都没有被访问
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
visited[i] = false;
}
System.out.println("BFS: ");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
//如果访问方剂为false,则设置为true,表示已经访问,然后开始访问
if (!visited[i]) {
visited[i] = true;
System.out.print(vertexs[i].data + " ");
indexLinkedList.add(i);
}
//判断队列是否有值,有就开始遍历
if (!indexLinkedList.isEmpty()) {
//出队列
Integer j = indexLinkedList.poll();
LNode node = vertexs[j].firstLNode;
while (node != null) {
int k = node.vertex;
if (!visited[k]) {
visited[k] = true;
System.out.print(vertexs[k].data + " ");
//继续入队列
indexLinkedList.add(k);
}
node = node.nextLNode;
}
}
}
System.out.println();
}
/**
* Prim算法求最小生成树
*/
public void prim() {
System.out.println("prim: ");
//对应节点应该被连接的前驱节点,用来输出
//默认为0,即前驱结点为第一个节点
int[] mid = new int[vertexs.length];
int start = 0;
int min, tmp, sum = 0;
int num = vertexs.length;
//顶点间边的权值
//存储未连接顶点到已连接顶点的最短距离(最小权)
int[] dis = new int[num];
// 初始化"顶点的权值数组"，
// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
//首先将其他顶点到0索引顶点的权值存储进去
for (int i = 0; i < num; i++) {
dis[i] = getWeight(start, i);
}
//如果某顶点作为末端顶点被连接，对应位置应该为true
//第一个顶点默认被连接
boolean[] connected = new boolean[vertexs.length];
connected[0] = true;
/*默认第一个顶点已经找到了,因此最多还要需要大循环n-1次*/
for (int k = 1; k < num; k++) {
min = NO_EDGE;
//最小权值的顶点的索引
int minIndex = 0;
// 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。
for (int i = 1; i < vertexs.length; i++) {
//排除已连接的顶点,排除权值等于0的值,因为这里默认顶点指向自己的权值为0
if (!connected[i] && dis[i] != 0 && dis[i] < min) {
min = dis[i];
minIndex = i;
}
}
//如果没找到,那么该图可能不是连通图,直接返回了,此时最小生成树没啥意义
if (minIndex == 0) {
return;
}
//权值和增加
sum += min;
//该新连接顶点对应的索引值变成true,表示已被连接,后续判断时跳过该顶点
connected[minIndex] = true;
//输出对应的前驱顶点到该最小顶点的权值
System.out.println(vertexs[mid[minIndex]].data + " ---> " + vertexs[minIndex].data + " 权值:" + min);
/*在新顶点minIndex加入之前的其他所有顶点到连接顶点最小的权值已经计算过了
因此只需要更新其他顶点到新连接顶点minIndex是否还有更短的权值,有的话就更新找到距离已连接的顶点权最小的顶点*/
for (int i = 1; i < num; i++) {
//如果该顶点未连接
if (!connected[i]) {
// 获取minindex顶点到未连接顶点i的权值
tmp = getWeight(minIndex, i);
/*如果新顶点到未连接顶点i的权值不为0,并且比原始顶点到未连接顶点i的权值还要小,那么更新对应位置的最小权值*/
if (tmp != 0 && dis[i] > tmp) {
dis[i] = tmp;
//更新前驱节点索引为新加入节点索引
mid[i] = minIndex;
}
}
}
}
System.out.println("sum: " + sum);
}
/**
* 尝试获取边起点start到边终点end的边的权值,当然可能获取不到
*
* @param start 边起点
* @param end 边终点
* @return 返回权值; 如果起点和终点相同则返回0;如果边起点和边终点之间并没有边, 则返回NO_EDGE
*/
private int getWeight(int start, int end) {
//如果start=end，则返回0
if (start == end) {
return 0;
}
//获取该顶点的边表的第一个值
LNode node = vertexs[start].firstLNode;
//循环查找边表,看能否找到对应的索引=end,找不到就返回NO_EDGE,表示两个顶点未连接。
while (node != null) {
if (end == node.vertex) {
return node.weight;
}
node = node.nextLNode;
}
return NO_EDGE;
}
/**
* Kruskal算法求最小生成树,可以说邻接矩阵和邻接链表的实现方式是完全一致的
*/
public void kruskal() {
//由于创建图的时候保存了边集数组,这里直接使用就行了
//Edge[] edges = getEdges();
//this.edges=edges;
//对边集数组进行排序
Arrays.sort(this.edges, Comparator.comparingInt(o -> o.weight));
// 用于保存已有最小生成树中每个顶点在该最小树中的最终终点的索引
int[] vends = new int[this.edges.length];
//能够知道终点索引范围是[0,this.edges.length-1],因此填充edges.length表示没有终点
Arrays.fill(vends, this.edges.length);
int sum = 0;
for (Edge<E> edge : this.edges) {
// 获取第i条边的起点索引from
int from = getPosition(edge.from);
// 获取第i条边的终点索引to
int to = getPosition(edge.to);
// 获取顶点from在"已有的最小生成树"中的终点
int m = getEndIndex(vends, from);
// 获取顶点to在"已有的最小生成树"中的终点
int n = getEndIndex(vends, to);
// 如果m!=n，意味着没有形成环路,则可以添加,否则直接跳过,进行下一条边的判断
if (m != n) {
//添加设置原始终点索引m在已有的最小生成树中的终点为n
vends[m] = n;
System.out.println(vertexs[from].data + " ---> " + vertexs[to].data + " 权值:" + edge.weight);
sum += edge.weight;
}
}
System.out.println("sum: " + sum);
//System.out.println(Arrays.toString(this.edges));
}
/**
* 获取顶点索引i的终点如果没有终点则返回顶点索引本身
*
* @param vends 顶点在最小生成树中的终点
* @param i 顶点索引
* @return 顶点索引i的终点如果没有终点则返回顶点索引本身
*/
private int getEndIndex(int[] vends, int i) {
//这里使用循环查找的逻辑,寻找的是最终的终点
while (vends[i] != this.edges.length) {
i = vends[i];
}
return i;
}
/**
* 如果没有现成的边集数组，那么根据邻接表结构获取图中的边集数组
*
* @return 图的边集数组
*/
private Edge[] getEdges() {
List<Edge> edges = new ArrayList<>();
//遍历顶点数组
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
LNode node = vertexs[i].firstLNode;
while (node != null) {
//只需添加起点索引小于终点索引的边就行了
if (node.vertex > i) {
edges.add(new Edge<>(vertexs[i].data, vertexs[node.vertex].data, node.weight));
}
node = node.nextLNode;
}
}
return edges.toArray(new Edge[0]);
}
public static void main(String[] args) {
//顶点数组
Character[] vexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//边数组,加权值
Edge[] edges = {
new Edge('A', 'C', 1),
new Edge('D', 'A', 2),
new Edge('A', 'F', 3),
new Edge('B', 'C', 4),
new Edge('C', 'D', 5),
new Edge('E', 'G', 6),
new Edge('E', 'B', 7),
new Edge('D', 'B', 8),
new Edge('F', 'G', 9)};
//构建图
ListPrimAndKruskal<Character> listPrimAndKruskal = new ListPrimAndKruskal<Character>(vexs, edges);
//输出图
System.out.println(listPrimAndKruskal);
//深度优先遍历
//DFS:
//A C B E G F D
listPrimAndKruskal.DFS();
//广度优先遍历
//BFS:
//A C D F B G E
listPrimAndKruskal.BFS();
//Prim算法求最小生成树
listPrimAndKruskal.prim();
//Kruskal算法求最小生成树
listPrimAndKruskal.kruskal();
//获取边集数组
Edge[] edges1 = listPrimAndKruskal.getEdges();
System.out.println(Arrays.toString(edges1));
}
}以上是Java如何求最小生成樹的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！
陳述：
本文轉載於：yisu.com。如有侵權，請聯絡admin@php.cn刪除