常用的損失函數及Python實作範例

什麼是損失函數？

損失函數是一種衡量模型與資料吻合程度的演算法。損失函數測量實際測量值和預測值之間差距的一種方式。損失函數的值越高預測就越錯誤，損失函數值越低則預測越接近真實值。對每個單獨的觀測(數據點)計算損失函數。將所有損失函數（loss function）的值取平均值的函數稱為代價函數（cost function），更簡單的理解就是損失函數是針對單一樣本的，而代價函數是針對所有樣本的。

損失函數與度量指標

一些損失函數也可以被用來作為評估指標。但是損失函數和度量指標（metrics）有不同的目的。雖然度量指標用於評估最終模型並比較不同模型的性能，但損失函數在模型建立階段用作正在創建的模型的最佳化器。損失函數指導模型如何最小化誤差。

也就是說損失函數是知道模型如何訓練的，而度量指標是說明模型的表現的

#為什麼要用損失函數?

由於損失函數測量的是預測值和實際值之間的差距，因此在訓練模型時可以使用它們來指導模型的改進(通常的梯度下降法)。在建構模型的過程中，如果特徵的權重發生了變化得到了更好或更差的預測，就需要利用損失函數來判斷模型中特徵的權重是否需要改變，以及改變的方向。

我們可以在機器學習中使用各種各樣的損失函數，這取決於我們試圖解決的問題的類型、資料品質和分佈以及我們使用的演算法，下圖為我們整理的10個常見的損失函數：

迴歸問題

1、均方誤差(MSE)

均方誤差是指所有預測值和真實值之間的平方差，並將其平均值。常用於回歸問題。

def MSE (y, y_predicted):
 sq_error = (y_predicted - y) ** 2
 sum_sq_error = np.sum(sq_error)
 mse = sum_sq_error/y.size
 return mse

2、平均絕對誤差(MAE)

作為預測值和真實值之間的絕對差的平均值來計算的。當數據有異常值時，這是比均方誤差更好的測量方法。

def MAE (y, y_predicted):
 error = y_predicted - y
 absolute_error = np.absolute(error)
 total_absolute_error = np.sum(absolute_error)
 mae = total_absolute_error/y.size
 return mae

3、均方根誤差(RMSE)

這個損失函數是均方誤差的平方根。如果我們不想懲罰更大的錯誤，這是一個理想的方法。

def RMSE (y, y_predicted):
 sq_error = (y_predicted - y) ** 2
 total_sq_error = np.sum(sq_error)
 mse = total_sq_error/y.size
 rmse = math.sqrt(mse)
 return rmse

4、平均偏差誤差(MBE)

#類似平均絕對誤差但不求絕對值。這個損失函數的缺點是負誤差和正誤差可以互相抵消，所以當研究人員知道誤差只有一個方向時，應用它會更好。

def MBE (y, y_predicted):
 error = y_predicted -y
 total_error = np.sum(error)
 mbe = total_error/y.size
 return mbe

5、Huber損失

Huber損失函數結合了平均絕對誤差(MAE)和均方誤差(MSE)的優點。這是因為Hubber損失是一個有兩個分支的函數。一個分支應用於符合期望值的MAE，另一個分支應用於異常值。 Hubber Loss一般函數為:

這裡的

def hubber_loss (y, y_predicted, delta)
 delta = 1.35 * MAE
 y_size = y.size
 total_error = 0
 for i in range (y_size):
erro = np.absolute(y_predicted[i] - y[i])
if error < delta:
 hubber_error = (error * error) / 2
else:
 hubber_error = (delta * error) / (0.5 * (delta * delta))
total_error += hubber_error
 total_hubber_error = total_error/y.size
 return total_hubber_error

二元分類

6.最大似然損失(Likelihood Loss/LHL)

此損失函數主要用於二值分類問題。將每一個預測值的機率相乘,得到一個損失值，相關的代價函數是所有觀測值的平均值。讓我們用以下二元分類的範例為例，其中類別為[0]或[1]。若輸出機率等於或大於0.5，則預測類別為[1]，否則為[0]。輸出機率的範例如下:

[0.3 , 0.7 , 0.8 , 0.5 , 0.6 , 0.4]

對應的預測類別為:

[0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0]

而實際的類別為：

[0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0]

現在將使用真實的類別和輸出機率來計算損失。如果真類別是[1]，我們使用輸出機率，如果真類別是[0]，我們使用1-機率:

((1–0.3)+0.7+0.8+(1–0.5)+0.6+(1–0.4)) / 6 = 0.65

Python程式碼如下:

def LHL (y, y_predicted):
 likelihood_loss = (y * y_predicted) + ((1-y) * (y_predicted))
 total_likelihood_loss = np.sum(likelihood_loss)
 lhl = - total_likelihood_loss / y.size
 return lhl

7、二元交叉熵(BCE)

這個函數是對數的似然損失的修正。數列的疊加可以懲罰那些非常有自信但是卻是錯誤的預測。二元交叉熵損失函數的一般公式為：

#讓我們繼續使用上面範例的值：

1. #輸出機率= [0.3、0.7、0.8、0.5、0.6、0.4]
2. 實際的類別= [0，1，1，0，1，0]

• #(0 . log (0.3) (1–0) . log (1–0.3)) = 0.155
• (1 . log(0.7) (1–1) . log (0.3)) = 0.155
• (1 . log(0.8) (1–1) . log (0.2)) = 0.097
• (0 . log (0.5) (1–0) . log (1–0.5) ) = 0.301
• (1 . log(0.6) (1–1) . log (0.4)) = 0.222
• (0 . log (0.4) (1–0) . log ( 1–0.4)) = 0.222

那麼代價函數的結果為：

(0.155 + 0.155 + 0.097 + 0.301 + 0.222 + 0.222) / 6 = 0.192

Python的程式碼如下：

def BCE (y, y_predicted):
 ce_loss = y*(np.log(y_predicted))+(1-y)*(np.log(1-y_predicted))
 total_ce = np.sum(ce_loss)
 bce = - total_ce/y.size
 return bce

8、Hinge Loss 和Squared Hinge Loss (HL and SHL)

Hinge Loss被翻譯成鉸鏈損失或合頁損失，這裡還是以英文為準。

Hinge Loss主要用于支持向量机模型的评估。错误的预测和不太自信的正确预测都会受到惩罚。所以一般损失函数是：

这里的t是真实结果用[1]或[-1]表示。

使用Hinge Loss的类应该是[1]或-1。为了在Hinge loss函数中不被惩罚，一个观测不仅需要正确分类而且到超平面的距离应该大于margin(一个自信的正确预测)。如果我们想进一步惩罚更高的误差，我们可以用与MSE类似的方法平方Hinge损失,也就是Squared Hinge Loss。

如果你对SVM比较熟悉，应该还记得在SVM中，超平面的边缘（margin）越高，则某一预测就越有信心。如果这块不熟悉，则看看这个可视化的例子:

如果一个预测的结果是1.5，并且真正的类是[1]，损失将是0(零)，因为模型是高度自信的。

loss= Max (0,1 - 1* 1.5) = Max (0， -0.5) = 0

如果一个观测结果为0(0)，则表示该观测处于边界(超平面)，真实的类为[-1]。损失为1，模型既不正确也不错误，可信度很低。

如果一次观测结果为2，但分类错误(乘以[-1])，则距离为-2。损失是3(非常高)，因为我们的模型对错误的决策非常有信心（这个是绝不能容忍的）。

python代码如下：

#Hinge Loss 
def Hinge (y, y_predicted): 
 hinge_loss = np.sum(max(0 , 1 - (y_predicted * y))) 
 return hinge_loss 

#Squared Hinge Loss 
def SqHinge (y, y_predicted): 
 sq_hinge_loss = max (0 , 1 - (y_predicted * y)) ** 2 
 total_sq_hinge_loss = np.sum(sq_hinge_loss) 
 return total_sq_hinge_loss

多分类

9、交叉熵（CE）

在多分类中，我们使用与二元交叉熵类似的公式，但有一个额外的步骤。首先需要计算每一对[y, y_predicted]的损失，一般公式为：

如果我们有三个类，其中单个[y, y_predicted]对的输出是：

这里实际的类3（也就是值=1的部分），我们的模型对真正的类是3的信任度是0.7。计算这损失如下：

为了得到代价函数的值，我们需要计算所有单个配对的损失，然后将它们相加最后乘以[-1/样本数量]。代价函数由下式给出：

使用上面的例子，如果我们的第二对：

那么成本函数计算如下：

使用Python的代码示例可以更容易理解；

def CCE (y, y_predicted): 
 cce_class = y * (np.log(y_predicted)) 
 sum_totalpair_cce = np.sum(cce_class) 
 cce = - sum_totalpair_cce / y.size 
 return cce

10、Kullback-Leibler 散度 (KLD)

又被简化称为KL散度，它类似于分类交叉熵，但考虑了观测值发生的概率。如果我们的类不平衡，它特别有用。

def KL (y, y_predicted): 
 kl = y * (np.log(y / y_predicted)) 
 total_kl = np.sum(kl) 
 return total_kl

以上就是常见的10个损失函数，希望对你有所帮助。

以上是常用的損失函數及Python實作範例的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！