如何使用 JavaScript 實作 FFT

在訊號處理領域中，Fast Fourier Transform（FFT）是廣泛使用的演算法，用於將時域訊號轉換為頻域訊號。 FFT 的高效性和準確性使得它在音訊、視訊、語音、影像以及電力等領域中得到廣泛應用。而 JavaScript 作為一種高可移植性、靈活性較強的腳本語言，其在 Web 開發中使用範圍廣泛，所以實作 JavaScript 版本的 FFT 也是非常必要的。

本篇文章將介紹如何使用 JavaScript 實作 FFT。

演算法簡介

FFT 演算法是基於快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform）演算法，可以將一個離散的時域訊號轉換成一個離散的頻域訊號。在電腦領域，FFT 演算法有兩種類型：離散傅立葉變換（DFT）和快速傅立葉變換（FFT），其中離散傅立葉變換是FFT的基礎。

離散傅立葉轉換的公式為：

$$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i2\pi kn/N}, k=0,1,2,\cdots,N-1$$

其中，$x_n$ 表示時域訊號$x$ 中第$n$ 個取樣點的值，$X_k$ 表示頻域訊號$X$ 中第$k$ 個頻率分量的值。其計算複雜度為 $O(N^2)$，時間複雜度較高。

而快速傅立葉變換則是一種基於分治策略的演算法，能夠將離散傅立葉變換的計算複雜度最佳化至$O(N\log N)$，顯著提高了計算的速度。

JavaScript 實作 FFT

接下來，我們將介紹如何使用 JavaScript 實作 FFT 演算法。

首先，我們需要先明確 FFT 演算法的輸入與輸出。 FFT 演算法的輸入是一組時域訊號，輸出則是該訊號在頻域中的分量。在 JavaScript 中，我們可以用陣列來表示一組離散的時域訊號，其中每個元素的值表示該訊號在該時刻的取樣值。

在實作 FFT 演算法時，我們需要以下幾個步驟：

1. 對輸入訊號進行計算，得到時域取樣點。
2. 將得到的取樣點依照 Bit-Reversal 演算法進行重排，減少計算中的快取缺失，提高計算效率。
3. 使用遞歸計算 FFT 演算法。遞歸的過程將訊號進行分治操作。在每個遞歸層級中，將訊號分為偶數點和奇數點兩個子集，然後遞歸計算兩個子集然後接合。
4. 計算頻域訊號的振幅和相位。根據公式$|X_k|=\sqrt{Re(X_k)^2 Im(X_k)^2}$ 和$\angle X_k=\tan^{-1}\left(\frac{Im(X_k)}{Re (X_k)}\right)$ 來計算頻率振幅和相位。

以下是JavaScript 中實作FFT 演算法的範例程式碼：

function fft(signal) {
  const N = signal.length;
  const X = new Array(N);

  if (N === 1) {
    X[0] = signal[0];
    return X;
  }

  const even = new Array(N / 2);
  const odd = new Array(N / 2);

  for (let i = 0; i < N / 2; i++) {
    even[i] = signal[2 * i];
    odd[i] = signal[2 * i + 1];
  }

  const E = fft(even);
  const O = fft(odd);

  for (let i = 0; i < N / 2; i++) {
    const w = Math.exp((-2 * Math.PI * i) / N);
    const b = w * O[i];

    X[i] = E[i] + b;
    X[i + N / 2] = E[i] - b;
  }

  return X;
}

function amplitudeAndPhase(X) {
  const N = X.length;
  const amplitude = new Array(N);
  const phase = new Array(N);

  for (let i = 0; i < N; i++) {
    const Re = X[i].real;
    const Im = X[i].imaginary;

    amplitude[i] = Math.sqrt(Re * Re + Im * Im);
    phase[i] = Math.atan2(Im, Re);
  }

  return { amplitude, phase };
}

function bitReversal(signal) {
  const N = signal.length;
  const X = new Array(N);

  for (let i = 0; i < N; i++) {
    X[reverseBits(i, Math.log2(N))] = signal[i];
  }

  return X;
}

function reverseBits(num, bits) {
  let reversed = 0;

  for (let i = 0; i < bits; i++) {
    reversed = (reversed << 1) | (num & 1);
    num >>= 1;
  }

  return reversed;
}

在這個範例程式碼中，我們定義了幾個輔助函數，包括計算幅度和相位、Bit-Reversal算法等。最重要的是 fft 函數，該函數接受一個陣列作為輸入訊號，並使用遞歸法計算 FFT 演算法。

結論

FFT 演算法是常用的訊號處理演算法，在音訊、視訊、語音、影像等領域廣泛應用。本文介紹如何使用 JavaScript 實作 FFT 演算法。在具體實作時，我們需要採取一些最佳化方法，如 Bit-Reversal 演算法和遞歸法。透過實作和使用 FFT 演算法，我們可以更方便地進行訊號處理，為 Web 開發和其他領域的工作提供協助。

以上是如何使用 JavaScript 實作 FFT的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！