Java演算法設計與分析：分治演算法實例詳解

一、前言

在學習分治演算法之前，問你一個問題，相信大家小時候都有存錢筒的經歷，父母親人如果給錢都會往自己的寶藏存錢，我們每隔一段時間就會清點清點錢。但是一堆錢讓你處理起來你可能覺得很複雜，因為數據相對於大腦有點龐大了，並且很容易算錯，你可能會將它先分成幾個小份算，然後再疊加起來計算總和就獲得這堆錢的總數了

當然如果你覺得各個部分錢數量還是太大，你依然可以進行劃分然後合併，我們之所以這麼多是因為：

• 計算每個小堆錢的方式和計算最大堆錢的方式是相同的(區別在於體量上)

• 然後大堆錢總和其實就是小堆錢結果總和。這樣其實就有一種分治的思想。

二、分治演算法介紹

分治演算法是用了分治思想的演算法，什麼是分治？

分治，字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題… …直到最後子問題可以簡單的直接解，原問題的解即子問題的解的合併。在計算機科學中，分治法就是運用分治思想的一種很重要的演算法。分治法是許多高效演算法的基礎，如排序演算法（快速排序，歸併排序），傅立葉變換（快速傅立葉變換）等等。

將父問題分解為子問題同等方式求解，這和遞歸的概念很吻合，所以在分治演算法通常以遞歸的方式實現(當然也有非遞歸的實現方式)。

分治演算法的描述從字面上也很容易理解，分、治其實還有個合併的過程：

• 分(Divide)：遞歸解決較小的問題(到終止層或可以解決的時候停下)

• 治(Conquer)：遞歸求解，如果問題夠小直接求解。

• 合併(Combine)：將子問題的解建構父類問題

一般分治演算法在正文中分解為兩個即以上的遞歸調用，且子類別問題一般是不想交的(互不影響)。當求解一個問題規模很大很難直接求解，但是規模較小的時候問題很容易求解並且這個問題並且問題滿足分治演算法的適用條件，那麼就可以使用分治演算法。

那麼採用分治演算法解決的問題就需要滿足那些條件(特徵) 呢?

• 1 . 原問題規模通常比較大，不容易直接解決，但問題縮小到一定程度就能較容易的解決。

• 2 . 問題可以分解為若干規模較小、求解方式相同(似)的子問題。且子問題之間求解是獨立的互不影響。

• 3 . 合併問題分解的子問題可以得到問題的解。

你可能會懷疑分治演算法和遞迴有什麼關係？其實分治重要的是一種思想，注重的是問題分、治、合併的過程。而遞歸是一種方式(工具)，這種方式透過方法自己呼叫自己形成一個來回的過程，而分治可能就是利用了多次這樣的來回過程。

三、分治演算法經典問題

對於分治演算法的經典問題，重要的是其思想，因為我們大部分借助遞歸去實現，所以在程式碼實現上大部分都是很簡單，而本篇也著重在講述思想。

分治演算法的經典問題，個人將它分成兩大類：子問題完全獨立和子問題不完全獨立。

• 1 . 子問題完全獨立就是原問題的答案可完全由子問題的結果推出。

• 2 . 子問題不完全獨立，有些區間類別的問題或跨區間問題使用分治可能結果跨區間,在考慮問題的時候需要仔細借鑒下。

3.1、二分搜尋

二分搜尋是分治的實例，只不過二分搜尋有著自己的特殊性

• #序列有序

• 結果為一個值

#正常二分將一個完整的區間分成兩個區間，兩個區間本來就應該單獨找值然後確認結果，但是透過有序的區間可以直接確定結果在那個區間，所以分的兩個區間只需要計算其中一個區間，然後繼續進行一直到結束。實作方式有遞歸和非遞歸，但是非遞歸的更多：

public int searchInsert(int[] nums, int target) {
  if(nums[0]>=target)return 0;//剪枝
  if(nums[nums.length-1]==target)return nums.length-1;//剪枝
  if(nums[nums.length-1]<target)return nums.length;
  int left=0,right=nums.length-1;
  while (left<right) {
    int mid=(left+right)/2;
    if(nums[mid]==target)
      return mid;
    else if (nums[mid]>target) {
      right=mid;
    }
    else {
      left=mid+1;
    }
  }
  return left;
}

3.2、快速排序

快排也是分治的一個實例，快排每一趟會選定一個數，將比這個數小的放左面，比這個數大的放右面，然後遞歸分治解兩個子區間，當然快排因為在分的時候就做了很多工作，當全部分到最底層的時候這個序列的值就是排序完的值。這是一種分而治之的體現。

public void quicksort(int [] a,int left,int right)
{
  int low=left;
  int high=right;
  //下面两句的顺序一定不能混，否则会产生数组越界！！！very important！！！
  if(low>high)//作为判断是否截止条件
    return;
  int k=a[low];//额外空间k，取最左侧的一个作为衡量，最后要求左侧都比它小，右侧都比它大。
  while(low<high)//这一轮要求把左侧小于a[low],右侧大于a[low]。
  {
    while(low<high&&a[high]>=k)//右侧找到第一个小于k的停止
    {
      high--;
    }
    //这样就找到第一个比它小的了
    a[low]=a[high];//放到low位置
    while(low<high&&a[low]<=k)//在low往右找到第一个大于k的，放到右侧a[high]位置
    {
      low++;
    }
    a[high]=a[low];
  }
  a[low]=k;//赋值然后左右递归分治求之
  quicksort(a, left, low-1);
  quicksort(a, low+1, right);
}

3.3、歸併排序(逆序數)

快排在分的時候做了很多工作，而歸併就是相反，歸併在分的時候按照數量均勻分，而合併時候已經是兩兩有序的進行合併的，因為兩個有序序列O(n)級別的複雜度即可得到需要的結果。而逆序數在歸併排序基礎上變形同樣也是分治思想求解。

private static void mergesort(int[] array, int left, int right) {
  int mid=(left+right)/2;
  if(left<right)
  {
    mergesort(array, left, mid);
    mergesort(array, mid+1, right);
    merge(array, left,mid, right);
  }
}
private static void merge(int[] array, int l, int mid, int r) {
  int lindex=l;int rindex=mid+1;
  int team[]=new int[r-l+1];
  int teamindex=0;
  while (lindex<=mid&&rindex<=r) {//先左右比较合并
    if(array[lindex]<=array[rindex])
    {
      team[teamindex++]=array[lindex++];
    }
    else {
      team[teamindex++]=array[rindex++];
    }
  }
  while(lindex<=mid)//当一个越界后剩余按序列添加即可
  {
    team[teamindex++]=array[lindex++];

  }
  while(rindex<=r)
  {
    team[teamindex++]=array[rindex++];
  }	
  for(int i=0;i<teamindex;i++)
  {
    array[l+i]=team[i];
  }
}

3.4、最大子序列和

#最大子序列和的問題我們可以使用動態規劃的解法，但是也可以使用分治演算法來解決問題，但是最大子序列和在合併的時候並不是簡單的合併，因為子序列和涉及到一個長度的問題，所以正確結果不一定全在最左側或最右側，而可能出現結果的區域為：

• 完全在中間的左邊

• #完全在中間的右邊

• 包含中間左右兩個節點的一個序列

用一張圖可以表示為：

所以在具體考慮的時候需要將無法遞歸得到結果的中間那個最大值串的結果也算出來參與左側、右側值得比較。

最大子序和在實現的程式碼為：

public int maxSubArray(int[] nums) {
    int max=maxsub(nums,0,nums.length-1);
    return max;
}
int maxsub(int nums[],int left,int right)
{
    if(left==right)
        return  nums[left];
    int mid=(left+right)/2;
    int leftmax=maxsub(nums,left,mid);//左侧最大
    int rightmax=maxsub(nums,mid+1,right);//右侧最大
    int midleft=nums[mid];//中间往左
    int midright=nums[mid+1];//中间往右
    int team=0;
    for(int i=mid;i>=left;i--)
    {
        team+=nums[i];
        if(team>midleft)
            midleft=team;
    }
    team=0;
    for(int i=mid+1;i<=right;i++)
    {
        team+=nums[i];
        if(team>midright)
            midright=team;
    }
    int max=midleft+midright;//中间的最大值
    if(max<leftmax)
        max=leftmax;
    if(max<rightmax)
        max=rightmax;
    return  max;
}

3.5、最近點對

最近點對是一個分治非常成功的運用之一。在二維座標軸上有若干個點座標，讓你求出最近的兩點的距離，如果讓你直接求那麼枚舉暴力是個非常非常大的計算量,我們通常採用分治的方法來優化這種問題。

 如果直接分成兩部分分治計算你一定會發現如果最短的如果一個在左一個在右會出現問題。我們可以優化一下。

在具體的最佳化方案上，依照x或y的維度進行考慮，將資料分成兩個區域，先分別計算(依照同方法)左右區域內最短的點對。然後根據這個兩個中較短的距離向左和向右覆蓋，計算被覆蓋的左右點之間的距離，找到最小那個距離與當前最短距離比較即可。

 這樣你就可以發現就這個一次的操作(不考慮子情況)，左側紅點就避免和右側大部分紅點進行距離計算(O (n2)的時間複雜度)。事實上，在進行左右區間內部計算的時候，它其實也這樣遞歸的進行很多次分治計算。如圖：

 這樣下去就可以節省很多次的計算量。

但是這種分治會存在一種問題就是二維座標可能點都聚集某個方法某條軸那麼可能效果並不明顯(點都在x=2附近對x分割作用就不大)，需要注意一下。

ac的程式碼為：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
public class Main {
    static int n;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in=new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        //List<node>list=new ArrayList();
         while(in.nextToken()!=StreamTokenizer.TT_EOF)
         {
             n=(int)in.nval;if(n==0) {break;}
            node no[]=new node[n];

             for(int i=0;i<n;i++)
             {
                 in.nextToken();double x=in.nval;
                 in.nextToken();double y=in.nval;
                // list.add(new node(x,y));
                 no[i]=new node(x,y);
             }
             Arrays.sort(no, com);
            double min= search(no,0,n-1);
            out.println(String.format("%.2f", Math.sqrt(min)/2));out.flush();
         }
    }
    private static double search(node[] no, int left,int right) {
        int mid=(right+left)/2;
        double minleng=0;
        if(left==right) {return Double.MAX_VALUE;}
        else if(left+1==right) {minleng= (no[left].x-no[right].x)*(no[left].x-no[right].x)+(no[left].y-no[right].y)*(no[left].y-no[right].y);}
        else minleng= min(search(no,left,mid),search(no,mid,right));
        int ll=mid;int rr=mid+1;
        while(no[mid].y-no[ll].y<=Math.sqrt(minleng)/2&&ll-1>=left) {ll--;}
        while(no[rr].y-no[mid].y<=Math.sqrt(minleng)/2&&rr+1<=right) {rr++;}
        for(int i=ll;i<rr;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<rr+1;j++)
            {
                double team=0;
                if(Math.abs((no[i].x-no[j].x)*(no[i].x-no[j].x))>minleng) {continue;}
                else
                {
                    team=(no[i].x-no[j].x)*(no[i].x-no[j].x)+(no[i].y-no[j].y)*(no[i].y-no[j].y);
                    if(team<minleng)minleng=team;
                }
            }
        }
        return minleng;

    }
    private static double min(double a, double b) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        return a<b?a:b;
    }
    static Comparator<node>com=new Comparator<node>() {

        @Override
        public int compare(node a1, node a2) {
            // TODO 自动生成的方法存根
            return a1.y-a2.y>0?1:-1;
        }};
    static class node
    {
        double x;
        double y;
        public node(double x,double y)
        {
            this.x=x;
            this.y=y;
        }
    }
}

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