八大排序演算法是什麼

八大排序演算法是：1、直接插入排序；2、希爾排序；3、簡單選擇排序；4、堆排序；5、冒泡排序；6、快速排序；7、歸併排序； 8.桶排序/基數排序。

本教學操作環境：windows10系統、Dell G3電腦。

排序有內部排序和外部排序，內部排序是資料記錄在記憶體中進行排序，而外部排序是因排序的資料很大，一次不能容納全部的排序記錄，在排序過程中需要訪問外存。

我們這裡說說八大排序就是內部排序。

    

#    當n較大，則應採用時間複雜度為O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或歸併排序序。

   快速排序：是目前基於比較的內部排序中被認為是最好的方法，當待排序的關鍵字是隨機分佈時，快速排序的平均時間最短；

1.插入排序—直接插入排序(Straight Insertion Sort)

---

基本思想:

將一個記錄插入到已排序好的有序表中，因此得到一個新，記錄數增加1的有序表。即：先將序列的第1個記錄看成是一個有序的子序列，然後從第2個記錄逐個進行插入，直至整個序列有序為止。

重點：設立哨兵，作為暫時儲存和判斷陣列邊界之用。

直接插入排序範例：

如果碰見一個和插入元素相等的，那麼插入元素把想插入的元素放在相等元素的後面。所以，相等元素的前後順序沒有改變，從原無序序列出去的順序就是排好序後的順序，所以插入排序是穩定的。

演算法的實作：

void print(int a[], int n ,int i){
	cout<<i <<":";
	for(int j= 0; j<8; j++){
		cout<<a[j] <<" ";
	}
	cout<<endl;
}


void InsertSort(int a[], int n)
{
	for(int i= 1; i<n; i++){
		if(a[i] < a[i-1]){               //若第i个元素大于i-1元素，直接插入。小于的话，移动有序表后插入
			int j= i-1;	
			int x = a[i];		 //复制为哨兵，即存储待排序元素
			a[i] = a[i-1];           //先后移一个元素
			while(x < a[j]){	 //查找在有序表的插入位置
				a[j+1] = a[j];
				j--;		 //元素后移
			}
			a[j+1] = x;		 //插入到正确位置
		}
		print(a,n,i);			//打印每趟排序的结果
	}
	
}

int main(){
	int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6};
	InsertSort(a,8);
	print(a,8,8);
}

時間複雜度：O（n^2）.

其他的插入排序有二分插入排序，2-路插入排序。

 2. 插入排序—希爾排序（Shell`s Sort）

---

希爾排序是1959 年由D.L.Shell 提出來的，相對直接排序有較大的改善。希爾排序又叫縮小增量排序

#基本想法：

##先將整個待排序的記錄序列分割成為若干子序列分別進行直接插入排序，待整個序列中的記錄「基本有序」時，再依序直接插入全體記錄插入排序。

操作方法：

• #選擇一個增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj ，tk=1;

• 依增量序列個數k，對序列進行k 趟排序；

• 每趟排序，依對應的增量ti，將待排序列分割成若干長度為m 的子序列，分別對各子表進行直接插入排序。僅增量因子為1 時，整個序列以一個表處理，表長度即為整個序列的長度。

希爾排序的範例：

shell排序的排序過程

#假設待排序檔案有10個記錄，其關鍵字分別是： 49，38，65，97，76，13，27，49，55，04。

增量系列的取值依序為：5，3，1

演算法實作：

#我們簡單處理增量序列：增量序列d = {n/2 ,n/4, n/8 .....1} n為要排序數的個數

即：先將要排序的一組記錄以某個增量d（n/2,n為要排序數的個數）分成若干組子序列，每組中記錄的下標相差d.對每組中全部元素進行直接插入排序，然後再用一個較小的增量（d/2）對它進行分組，在每組中再進行直接插入排序。繼續不斷縮小增量直至為1，最後使用直接插入排序完成排序。

void print(int a[], int n ,int i){
	cout<<i <<":";
	for(int j= 0; j<8; j++){
		cout<<a[j] <<" ";
	}
	cout<<endl;
}
/**
 * 直接插入排序的一般形式
 *
 * @param int dk 缩小增量，如果是直接插入排序，dk=1
 *
 */

void ShellInsertSort(int a[], int n, int dk)
{
	for(int i= dk; i<n; ++i){
		if(a[i] < a[i-dk]){			//若第i个元素大于i-1元素，直接插入。小于的话，移动有序表后插入
			int j = i-dk;	
			int x = a[i];			//复制为哨兵，即存储待排序元素
			a[i] = a[i-dk];			//首先后移一个元素
			while(x < a[j]){		//查找在有序表的插入位置
				a[j+dk] = a[j];
				j -= dk;			 //元素后移
			}
			a[j+dk] = x;			//插入到正确位置
		}
		print(a, n,i );
	}
	
}

/**
 * 先按增量d（n/2,n为要排序数的个数进行希尔排序
 *
 */
void shellSort(int a[], int n){

	int dk = n/2;
	while( dk >= 1  ){
		ShellInsertSort(a, n, dk);
		dk = dk/2;
	}
}
int main(){
	int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6};
	//ShellInsertSort(a,8,1); //直接插入排序
	shellSort(a,8);			  //希尔插入排序
	print(a,8,8);
}

希尔排序时效分析很难，关键码的比较次数与记录移动次数依赖于增量因子序列d的选取，特定情况下可以准确估算出关键码的比较次数和记录的移动次数。目前还没有人给出选取最好的增量因子序列的方法。增量因子序列可以有各种取法，有取奇数的，也有取质数的，但需要注意：增量因子中除1 外没有公因子，且最后一个增量因子必须为1。希尔排序方法是一个不稳定的排序方法。

3. 选择排序—简单选择排序（Simple Selection Sort）

---

基本思想：

在要排序的一组数中，选出最小（或者最大）的一个数与第1个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小（或者最大）的与第2个位置的数交换，依次类推，直到第n-1个元素（倒数第二个数）和第n个元素（最后一个数）比较为止。

简单选择排序的示例：

 

操作方法：

第一趟，从n 个记录中找出关键码最小的记录与第一个记录交换；

第二趟，从第二个记录开始的n-1 个记录中再选出关键码最小的记录与第二个记录交换；

以此类推.....

第i 趟，则从第i 个记录开始的n-i+1 个记录中选出关键码最小的记录与第i 个记录交换，

直到整个序列按关键码有序。

算法实现：

void print(int a[], int n ,int i){
	cout<<"第"<<i+1 <<"趟 : ";
	for(int j= 0; j<8; j++){
		cout<<a[j] <<"  ";
	}
	cout<<endl;
}
/**
 * 数组的最小值
 *
 * @return int 数组的键值
 */
int SelectMinKey(int a[], int n, int i)
{
	int k = i;
	for(int j=i+1 ;j< n; ++j) {
		if(a[k] > a[j]) k = j;
	}
	return k;
}

/**
 * 选择排序
 *
 */
void selectSort(int a[], int n){
	int key, tmp;
	for(int i = 0; i< n; ++i) {
		key = SelectMinKey(a, n,i);           //选择最小的元素
		if(key != i){
			tmp = a[i];  a[i] = a[key]; a[key] = tmp; //最小元素与第i位置元素互换
		}
		print(a,  n , i);
	}
}
int main(){
	int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6};
	cout<<"初始值：";
	for(int j= 0; j<8; j++){
		cout<<a[j] <<"  ";
	}
	cout<<endl<<endl;
	selectSort(a, 8);
	print(a,8,8);
}

 简单选择排序的改进——二元选择排序

简单选择排序，每趟循环只能确定一个元素排序后的定位。我们可以考虑改进为每趟循环确定两个元素（当前趟最大和最小记录）的位置,从而减少排序所需的循环次数。改进后对n个数据进行排序，最多只需进行[n/2]趟循环即可。具体实现如下：

/** 这是伪函数, 逻辑判断不严谨
void selectSort(int r[],int n) {
	int i ,j , min ,max, tmp;
	for (i=1 ;i <= n/2;i++) {  
		// 做不超过n/2趟选择排序 
		min = i; max = i ; //分别记录最大和最小关键字记录位置
		for (j= i+1; j<= n-i; j++) {
			if (r[j] > r[max]) { 
				max = j ; continue ; 
			}  
			if (r[j]< r[min]) { 
				min = j ; 
			}   
	  }  
	  //该交换操作还可分情况讨论以提高效率
	  tmp = r[i-1]; r[i-1] = r[min]; r[min] = tmp;
	  tmp = r[n-i]; r[n-i] = r[max]; r[max] = tmp; 
 
	} 
}
 */
void selectSort(int a[],int len) {
        int i,j,min,max,tmp;  
        for(i=0; i<len/2; i++){  // 做不超过n/2趟选择排序 
            min = max = i;  
            for(j=i+1; j<=len-1-i; j++){  
				//分别记录最大和最小关键字记录位置
                if(a[j] > a[max]){  
                    max = j;  
                    continue;  
                }  
                if(a[j] < a[min]){  
                    min = j;  
                }  
            }  
			//该交换操作还可分情况讨论以提高效率
            if(min != i){//当第一个为min值，不用交换  
                tmp=a[min];  a[min]=a[i];  a[i]=tmp;  
            }  
            if(min == len-1-i && max == i)//当第一个为max值，同时最后一个为min值，不再需要下面操作  
                continue;  
            if(max == i)//当第一个为max值，则交换后min的位置为max值  
                max = min;  
            if(max != len-1-i){//当最后一个为max值，不用交换  
                tmp=a[max];  a[max]=a[len-1-i];  a[len-1-i]=tmp;  
            }
			print(a,len, i);			
        }  
 }

4. 选择排序—堆排序（Heap Sort）

---

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

基本思想：

堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足

时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。
若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：

（a）大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)

  (b)  小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
调整小顶堆的方法：

1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.

4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.

5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：

再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。

1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第个结点的子树。

2）筛选从第个结点为根的子树开始，该子树成为堆。

3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

 算法的实现：

从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。

void print(int a[], int n){
	for(int j= 0; j<n; j++){
		cout<<a[j] <<"  ";
	}
	cout<<endl;
}



/**
 * 已知H[s…m]除了H[s] 外均满足堆的定义
 * 调整H[s],使其成为大顶堆.即将对第s个结点为根的子树筛选, 
 *
 * @param H是待调整的堆数组
 * @param s是待调整的数组元素的位置
 * @param length是数组的长度
 *
 */
void HeapAdjust(int H[],int s, int length)
{
	int tmp  = H[s];
	int child = 2*s+1; //左孩子结点的位置。(i+1 为当前调整结点的右孩子结点的位置)
    while (child < length) {
		if(child+1 <length && H[child]<H[child+1]) { // 如果右孩子大于左孩子(找到比当前待调整结点大的孩子结点)
			++child ;
		}
		if(H[s]<H[child]) {  // 如果较大的子结点大于父结点
			H[s] = H[child]; // 那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
			s = child;		 // 重新设置s ,即待调整的下一个结点的位置
			child = 2*s+1;
		}  else {			 // 如果当前待调整结点大于它的左右孩子，则不需要调整，直接退出
			 break;
		}
		H[s] = tmp;			// 当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上
	}
	print(H,length);
}


/**
 * 初始堆进行调整
 * 将H[0..length-1]建成堆
 * 调整完之后第一个元素是序列的最小的元素
 */
void BuildingHeap(int H[], int length)
{ 
	//最后一个有孩子的节点的位置 i=  (length -1) / 2
	for (int i = (length -1) / 2 ; i >= 0; --i)
		HeapAdjust(H,i,length);
}
/**
 * 堆排序算法
 */
void HeapSort(int H[],int length)
{
    //初始堆
	BuildingHeap(H, length);
	//从最后一个元素开始对序列进行调整
	for (int i = length - 1; i > 0; --i)
	{
		//交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素
		int temp = H[i]; H[i] = H[0]; H[0] = temp;
		//每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整
		HeapAdjust(H,0,i);
  }
} 

int main(){
	int H[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
	cout<<"初始值：";
	print(H,10);
	HeapSort(H,10);
	//selectSort(a, 8);
	cout<<"结果：";
	print(H,10);

}

分析:

设树深度为k，。从根到叶的筛选，元素比较次数至多2(k-1)次，交换记录至多k 次。所以，在建好堆后，排序过程中的筛选次数不超过下式： 

                               

而建堆时的比较次数不超过4n 次，因此堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlogn )。

5. 交换排序—冒泡排序（Bubble Sort）

---

基本思想：

在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。

冒泡排序的示例：

 

算法的实现：

void bubbleSort(int a[], int n){
	for(int i =0 ; i< n-1; ++i) {
		for(int j = 0; j < n-i-1; ++j) {
			if(a[j] > a[j+1])
			{
				int tmp = a[j] ; a[j] = a[j+1] ;  a[j+1] = tmp;
			}
		}
	}
}

冒泡排序算法的改进

对冒泡排序常见的改进方法是加入一标志性变量exchange，用于标志某一趟排序过程中是否有数据交换，如果进行某一趟排序时并没有进行数据交换，则说明数据已经按要求排列好，可立即结束排序，避免不必要的比较过程。本文再提供以下两种改进算法：

1．设置一标志性变量pos,用于记录每趟排序中最后一次进行交换的位置。由于pos位置之后的记录均已交换到位,故在进行下一趟排序时只要扫描到pos位置即可。

改进后算法如下:

void Bubble_1 ( int r[], int n) {
	int i= n -1;  //初始时,最后位置保持不变
	while ( i> 0) { 
		int pos= 0; //每趟开始时,无记录交换
		for (int j= 0; j< i; j++)
			if (r[j]> r[j+1]) {
				pos= j; //记录交换的位置 
				int tmp = r[j]; r[j]=r[j+1];r[j+1]=tmp;
			} 
		i= pos; //为下一趟排序作准备
	 } 
}

2．传统冒泡排序中每一趟排序操作只能找到一个最大值或最小值,我们考虑利用在每趟排序中进行正向和反向两遍冒泡的方法一次可以得到两个最终值(最大者和最小者) , 从而使排序趟数几乎减少了一半。

改进后的算法实现为:

void Bubble_2 ( int r[], int n){
	int low = 0; 
	int high= n -1; //设置变量的初始值
	int tmp,j;
	while (low < high) {
		for (j= low; j< high; ++j) //正向冒泡,找到最大者
			if (r[j]> r[j+1]) {
				tmp = r[j]; r[j]=r[j+1];r[j+1]=tmp;
			} 
		--high;					//修改high值, 前移一位
		for ( j=high; j>low; --j) //反向冒泡,找到最小者
			if (r[j]<r[j-1]) {
				tmp = r[j]; r[j]=r[j-1];r[j-1]=tmp;
			}
		++low;					//修改low值,后移一位
	} 
}

6. 交换排序—快速排序（Quick Sort）

---

基本思想：

1）选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素,

2）通过一趟排序讲待排序的记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的元素值均比基准元素值小。另一部分记录的 元素值比基准值大。

3）此时基准元素在其排好序后的正确位置

4）然后分别对这两部分记录用同样的方法继续进行排序，直到整个序列有序。

快速排序的示例：

（a）一趟排序的过程：

（b）排序的全过程

算法的实现：

 递归实现：

void print(int a[], int n){
	for(int j= 0; j<n; j++){
		cout<<a[j] <<"  ";
	}
	cout<<endl;
}

void swap(int *a, int *b)
{
	int tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

int partition(int a[], int low, int high)
{
	int privotKey = a[low];								//基准元素
	while(low < high){								    //从表的两端交替地向中间扫描
		while(low < high  && a[high] >= privotKey) --high;  //从high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端
		swap(&a[low], &a[high]);
		while(low < high  && a[low] <= privotKey ) ++low;
		swap(&a[low], &a[high]);
	}
	print(a,10);
	return low;
}


void quickSort(int a[], int low, int high){
	if(low < high){
		int privotLoc = partition(a,  low,  high);  //将表一分为二
		quickSort(a,  low,  privotLoc -1);			//递归对低子表递归排序
		quickSort(a,   privotLoc + 1, high);		//递归对高子表递归排序
	}
}

int main(){
	int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
	cout<<"初始值：";
	print(a,10);
	quickSort(a,0,9);
	cout<<"结果：";
	print(a,10);

}

分析：

快速排序是通常被认为在同数量级（O(nlog2n)）的排序方法中平均性能最好的。但若初始序列按关键码有序或基本有序时，快排序反而蜕化为冒泡排序。为改进之，通常以“三者取中法”来选取基准记录，即将排序区间的两个端点与中点三个记录关键码居中的调整为支点记录。快速排序是一个不稳定的排序方法。

快速排序的改进

在本改进算法中,只对长度大于k的子序列递归调用快速排序,让原序列基本有序，然后再对整个基本有序序列用插入排序算法排序。实践证明，改进后的算法时间复杂度有所降低，且当k取值为 8 左右时,改进算法的性能最佳。算法思想如下：

void print(int a[], int n){
	for(int j= 0; j<n; j++){
		cout<<a[j] <<"  ";
	}
	cout<<endl;
}

void swap(int *a, int *b)
{
	int tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

int partition(int a[], int low, int high)
{
	int privotKey = a[low];					//基准元素
	while(low < high){					//从表的两端交替地向中间扫描
		while(low < high  && a[high] >= privotKey) --high; //从high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端
		swap(&a[low], &a[high]);
		while(low < high  && a[low] <= privotKey ) ++low;
		swap(&a[low], &a[high]);
	}
	print(a,10);
	return low;
}


void qsort_improve(int r[ ],int low,int high, int k){
	if( high -low > k ) { //长度大于k时递归, k为指定的数
		int pivot = partition(r, low, high); // 调用的Partition算法保持不变
		qsort_improve(r, low, pivot - 1,k);
		qsort_improve(r, pivot + 1, high,k);
	} 
} 
void quickSort(int r[], int n, int k){
	qsort_improve(r,0,n,k);//先调用改进算法Qsort使之基本有序

	//再用插入排序对基本有序序列排序
	for(int i=1; i<=n;i ++){
		int tmp = r[i]; 
		int j=i-1;
		while(tmp < r[j]){
			r[j+1]=r[j]; j=j-1; 
		}
		r[j+1] = tmp;
	} 

} 



int main(){
	int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
	cout<<"初始值：";
	print(a,10);
	quickSort(a,9,4);
	cout<<"结果：";
	print(a,10);

}

7. 归并排序（Merge Sort）

---

基本思想：

归并（Merge）排序法是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列，每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。

归并排序示例：

 

合并方法：

设r[i…n]由两个有序子表r[i…m]和r[m+1…n]组成，两个子表长度分别为n-i +1、n-m。

• j=m+1；k=i；i=i; //置两个子表的起始下标及辅助数组的起始下标

• 若i>m 或j>n，转⑷ //其中一个子表已合并完，比较选取结束

• //选取r[i]和r[j]较小的存入辅助数组rf
  如果r[i] 否则，rf[k]=r[j]； j++； k++； 转⑵

• //将尚未处理完的子表中元素存入rf
  如果i 如果j

• 合并结束。

//将r[i…m]和r[m +1 …n]归并到辅助数组rf[i…n]
void Merge(ElemType *r,ElemType *rf, int i, int m, int n)
{
	int j,k;
	for(j=m+1,k=i; i<=m && j <=n ; ++k){
		if(r[j] < r[i]) rf[k] = r[j++];
		else rf[k] = r[i++];
	}
	while(i <= m)  rf[k++] = r[i++];
	while(j <= n)  rf[k++] = r[j++];
}

归并的迭代算法

1 个元素的表总是有序的。所以对n 个元素的待排序列，每个元素可看成1 个有序子表。对子表两两合并生成n/2个子表，所得子表除最后一个子表长度可能为1 外，其余子表长度均为2。再进行两两合并，直到生成n 个元素按关键码有序的表。

void print(int a[], int n){
	for(int j= 0; j<n; j++){
		cout<<a[j] <<"  ";
	}
	cout<<endl;
}

//将r[i…m]和r[m +1 …n]归并到辅助数组rf[i…n]
void Merge(ElemType *r,ElemType *rf, int i, int m, int n)
{
	int j,k;
	for(j=m+1,k=i; i<=m && j <=n ; ++k){
		if(r[j] < r[i]) rf[k] = r[j++];
		else rf[k] = r[i++];
	}
	while(i <= m)  rf[k++] = r[i++];
	while(j <= n)  rf[k++] = r[j++];
	print(rf,n+1);
}

void MergeSort(ElemType *r, ElemType *rf, int lenght)
{ 
	int len = 1;
	ElemType *q = r ;
	ElemType *tmp ;
	while(len < lenght) {
		int s = len;
		len = 2 * s ;
		int i = 0;
		while(i+ len <lenght){
			Merge(q, rf,  i, i+ s-1, i+ len-1 ); //对等长的两个子表合并
			i = i+ len;
		}
		if(i + s < lenght){
			Merge(q, rf,  i, i+ s -1, lenght -1); //对不等长的两个子表合并
		}
		tmp = q; q = rf; rf = tmp; //交换q,rf，以保证下一趟归并时，仍从q 归并到rf
	}
}


int main(){
	int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
	int b[10];
	MergeSort(a, b, 10);
	print(b,10);
	cout<<"结果：";
	print(a,10);

}

两路归并的递归算法

void MSort(ElemType *r, ElemType *rf,int s, int t)
{ 
	ElemType *rf2;
	if(s==t) r[s] = rf[s];
	else
	{ 
		int m=(s+t)/2;			/*平分*p 表*/
		MSort(r, rf2, s, m);		/*递归地将p[s…m]归并为有序的p2[s…m]*/
		MSort(r, rf2, m+1, t);		/*递归地将p[m+1…t]归并为有序的p2[m+1…t]*/
		Merge(rf2, rf, s, m+1,t);	/*将p2[s…m]和p2[m+1…t]归并到p1[s…t]*/
	}
}
void MergeSort_recursive(ElemType *r, ElemType *rf, int n)
{   /*对顺序表*p 作归并排序*/
	MSort(r, rf,0, n-1);
}

8. 桶排序/基数排序(Radix Sort)

说基数排序之前，我们先说桶排序：

基本概念：是將陣列分到有限數量的桶子裡。每個桶子再個別排序（有可能再使用別的排序演算法或是以遞回方式繼續使用桶排序進行排序）。桶排序是鴿巢排序的一種歸納結果。當要被排序的陣列內的數值是均勻分配的時候，桶排序使用線性時間（Θ（n））。但桶排序不是 比較排序，他不受到 O(n log n) 下限的影響。
         簡單來說，就是將資料分組，並放在一個個的桶中，然後每個桶裡面的在進行排序。

 例如要對大小為[1..1000]範圍內的n個整數A[1..n]排序 

 首先，可以將桶設為10的範圍，具體而言，設集合B[1]儲存[1..10]的整數，集合B[2]儲存  (10..20]的整數，…集合B[i]儲存(   (i-1)* 10,   i*10]的整數，i   =   1,2,..100。總共有  100個桶。 

  然後，對A[1..n]從頭到尾掃描一遍，把每個A[i]放入對應的桶B[j]。  再對這100個桶中每個桶裡的數字排序，這時可用冒泡，選擇，乃至快排，一般來說任  何排序法都可以。

  最後，依序輸出每個桶裡面的數字，且每個桶內的數字從小到大輸出，這  樣就得到所有數字排好序的一個序列了。 

  假設有n個數字，有m個桶，如果數字是平均分佈的，則每個桶裡面平均有n/m個數字。如果 

  對每個桶中的數字都採用快速排序，那麼整個算法的複雜度是 

  O(n     m   *   n/m*log(n/m))   =   O(n     nlogn   -   nlogm)  

  從上式看出，當m接近n的時候，桶排序複雜度接近O(n)    當然，以上複雜度的計算是基於輸入的n個數字是平均分佈這個假設的。這個假設是很強的  ，實際應用中效果並沒有這麼好。如果所有的數字都落在同一個桶中，那就退化成一般的排序了。  

        前面說的幾大排序演算法，大部分時間複雜度都是O（n2），也有部分排序演算法時間複雜度是O(nlogn)。而桶式排序卻能實現O（n）的時間複雜度。但桶排序的缺點是：

        1）首先是空間複雜度比較高，需要的額外開銷大。排序有兩個數組的空間開銷，一個存放待排序數組，一個就是所謂的桶，比如待排序值是從0到m-1，那就需要m個桶，這個桶數組就要至少m個空間。        2）其次要排序的元素都要在一定的範圍內等等。        桶式排序是一種分配排序。分配排序的特定是不需要進行關鍵碼的比較，但前提是要知道待排序列的一些具體情況。
分配排序的基本想法：說白了就是進行多次的桶式排序。

基數排序過程無須比較關鍵字，而是透過「分配」和「收集」過程來實現排序。它們的時間複雜度可達線性階：O(n)。

############實例:############撲克牌中52 張牌，可依花色和麵值分成兩個字段，其大小關係為：### 花色： ######梅花为得到排序结果，我们讨论两种排序方法。
方法1：先对花色排序，将其分为4 个组，即梅花组、方块组、红心组、黑心组。再对每个组分别按面值进行排序，最后，将4 个组连接起来即可。
方法2：先按13 个面值给出13 个编号组(2 号，3 号，...，A 号)，将牌按面值依次放入对应的编号组，分成13 堆。再按花色给出4 个编号组(梅花、方块、红心、黑心)，将2号组中牌取出分别放入对应花色组，再将3 号组中牌取出分别放入对应花色组，……，这样，4 个花色组中均按面值有序，然后，将4 个花色组依次连接起来即可。

设n 个元素的待排序列包含d 个关键码{k1，k2，…，kd}，则称序列对关键码{k1，k2，…，kd}有序是指：对于序列中任两个记录r[i]和r[j](1≤i≤j≤n)都满足下列有序关系：

                                                              

其中k1 称为最主位关键码，kd 称为最次位关键码     。

两种多关键码排序方法：

多关键码排序按照从最主位关键码到最次位关键码或从最次位到最主位关键码的顺序逐次排序，分两种方法：

最高位优先(Most Significant Digit first)法，简称MSD 法：

1）先按k1 排序分组，将序列分成若干子序列，同一组序列的记录中，关键码k1 相等。

2）再对各组按k2 排序分成子组，之后，对后面的关键码继续这样的排序分组，直到按最次位关键码kd 对各子组排序后。

3）再将各组连接起来，便得到一个有序序列。扑克牌按花色、面值排序中介绍的方法一即是MSD 法。

最低位优先(Least Significant Digit first)法，简称LSD 法：

1) 先从kd 开始排序，再对kd-1进行排序，依次重复，直到按k1排序分组分成最小的子序列后。

2) 最后将各个子序列连接起来，便可得到一个有序的序列, 扑克牌按花色、面值排序中介绍的方法二即是LSD 法。

基于LSD方法的链式基数排序的基本思想

　　“多关键字排序”的思想实现“单关键字排序”。对数字型或字符型的单关键字，可以看作由多个数位或多个字符构成的多关键字，此时可以采用“分配-收集”的方法进行排序，这一过程称作基数排序法，其中每个数字或字符可能的取值个数称为基数。比如，扑克牌的花色基数为4，面值基数为13。在整理扑克牌时，既可以先按花色整理，也可以先按面值整理。按花色整理时，先按红、黑、方、花的顺序分成4摞（分配），再按此顺序再叠放在一起（收集），然后按面值的顺序分成13摞（分配），再按此顺序叠放在一起（收集），如此进行二次分配和收集即可将扑克牌排列有序。   

基数排序:

是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以是稳定的。

算法实现：

Void RadixSort(Node L[],length,maxradix)
{
   int m,n,k,lsp;
   k=1;m=1;
   int temp[10][length-1];
   Empty(temp); //清空临时空间
   while(k<maxradix) //遍历所有关键字
   {
     for(int i=0;i<length;i++) //分配过程
    {
       if(L[i]<m)
          Temp[0][n]=L[i];
       else
          Lsp=(L[i]/m)%10; //确定关键字
       Temp[lsp][n]=L[i];
       n++;
   }
   CollectElement(L,Temp); //收集
   n=0;
   m=m*10;
  k++;
 }
}

总结

---

各种排序的稳定性，时间复杂度和空间复杂度总结：

 我们比较时间复杂度函数的情况：

 

                             時間複雜度函數O(n)中的成長情上

所以對較大的排序記錄。一般的選擇都是時間複雜度為O(nlog2n)的排序方法。

時間複雜度來說：

(1)平方階(O(n2))排序
　　各類別簡單排序:直接插入、直接選擇和冒泡排序；
 (2)線性對數階(O(nlog2n))排序
　　快速排序、堆排序和歸併排序；
 (3)O(n1 §) )排序,§是介於0和1之間的常數。

       希爾排序
(4)線性階(O(n))排序
　　基數排序，此外還有桶、箱排序。

說明：

當原表有序或基本有序時，直接插入排序和冒泡排序將大大減少比較次數和移動記錄的次數，時間複雜度可降至O （n）；

而快速排序則相反，當原表基本上有順序時，將蛻化為冒泡排序，時間複雜度提高為O（n2）；

原表是否有序，對簡單選擇排序、堆排序、歸併排序和基數排序的時間複雜度影響不大。

穩定性：

#排序演算法的穩定性:若待排序的序列中，存在多個具有相同關鍵字的記錄，經過排序， 這些記錄的相對次序保持不變，則稱該演算法是穩定的；若經排序後，記錄的相對次序發生了改變，則稱該演算法是不穩定的。
     穩定性的好處：排序演算法如果是穩定的，那麼從一個鍵上排序，然後再從另一個鍵上排序，第一個鍵排序的結果可以為第二個鍵排序所用。基數排序就是這樣，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其順序再高位也相同時是不會改變的。另外，如果排序演算法穩定，可以避免多餘的比較；

的穩定排序演算法：冒泡排序、插入排序、歸併排序與基底數排序

不是穩定的排序演算法：選擇排序、快速排序、希爾排序、堆排序

選擇排序演算法準則：

每種排序演算法都各有優缺點。因此，實用時需根據不同情況適當選用，甚至可以將多種方法結合起來使用。

選擇排序演算法的依據

影響排序的因素很多，平均時間複雜度低的演算法不一定就是最優的。相反，有時平均時間複雜度高的演算法可能更適合某些特殊情況。同時，選擇演算法時還得考慮它的可讀性，以利於軟體的維護。一般而言，需要考慮的因素有以下四點：

1．待排序的記錄數目n的大小；

2．記錄本身資料量的大小，也就是記錄中除關鍵字外的其他資訊量的大小；

3．關鍵字的結構及其分佈；

4．對排序穩定性的要求。

設待排序元素的個數為n.

#1）當n較大，則應採用時間複雜度為O( nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或歸併排序序。

   快速排序：是目前基於比較的內部排序中被認為是最好的方法，當待排序的關鍵字是隨機分佈時，快速排序的平均時間最短；
       堆排序：  如果記憶體空間允許且要求穩定的，

       歸併排序：它有一定數量的資料移動，所以我們可能會與插入排序組合，先獲得一定長度的序列，然後再合併，在效率上將有所提高。

2）  當n較大，記憶體空間允許，且要求穩定性=》歸併排序

3）當n較小，可採用直接插入或直接選擇排序。

    直接插入排序：當元素分佈有序，直接插入排序將大幅減少比較次數和移動記錄的次數。

    直接選擇排序：元素分佈有序，如果不要求穩定性，選擇直接選擇排序

5）一般不使用或不直接使用傳統的冒泡排序。

6）基數排序
它是一種穩定的排序演算法，但有一定的限制：
　　1、關鍵字可分解。
　　2、記錄的關鍵字位數較少，如果密集更好
　　3、如果是數字時，最好是無符號的，否則將增加相應的映射複雜度，可先將其正負分開排序。

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