圖的廣度優先遍歷類似二元樹的什麼？
- 青灯夜游原創
- 2020-08-29 16:44:3222474瀏覽
圖的廣度優先遍歷即橫向優先遍歷，類似二元樹的按層遍歷。廣度優先遍歷是從根結點開始沿著樹的寬度搜尋遍歷，即按層次的去遍歷；從上往下對每一層依次訪問，在每層中，從左往右（或右往左）訪問結點，訪問完一層就進入下一層，直到沒有結點可以訪問為止。
1.前言
和樹的遍歷類似，圖的遍歷也是從圖中某點出發，然後按照某種方法對圖中所有頂點進行訪問，且僅訪問一次。
但是圖的遍歷相對樹而言要更為複雜。因為圖中的任一頂點都可能與其他頂點相鄰，所以在圖的遍歷中必須記錄已被造訪的頂點，避免重複造訪。
根據搜尋路徑的不同，我們可以將遍歷圖的方法分為兩種：廣度優先搜尋和深度優先搜尋。
2.圖的基本概念
2.1.無向圖和無向圖
頂點對(u，v)是無序的，即（u，v ）和（v，u）是同一條邊。常用一對圓括號表示。
圖2-1-1 無向圖範例
頂點對
圖2-1-2 有向圖範例
2.2 .權和網
圖的每條邊上可能存在具有某種意義的數值，稱該數值為該邊上的權。而這種帶權的圖稱為網。
2.3.連通圖與非連通圖
連通圖：在無向圖G中，從頂點v到頂點v'有路徑，則稱v和v'是聯通的。若圖中任兩頂點v、v'∈V，v和v'之間均聯通，則稱G為連通圖。上述兩圖均為連通圖。
非連通圖：若無向圖G中，存在v和v'之間不連通，則稱G為非連通圖。
圖2-3 非連通圖範例
3.廣度優先搜尋
3.1.演算法的基本想法
廣度優先搜尋類似樹的層次遍歷過程。它需要藉助一個佇列來實作。如圖2-1-1所示，要遍歷從v0到v6的每一個頂點，我們可以設v0為第一層，v1、v2、v3為第二層，v4、v5為第三層，v6為第四層，再逐一遍歷每一層的每個頂點。
具體過程如下：
1.準備工作：建立一個visited數組，用來記錄已被訪問過的頂點；建立一個佇列，用來存放每一層的頂點；初始化圖G。
2.從圖中的v0開始訪問，將的visited[v0]陣列的值設為true，同時將v0入隊。
3.只要隊列不空，則重複如下：
(1)隊頭頂點u出隊。
(2)依序檢查u的所有鄰接頂點w，若visited[w]的值為false，則造訪w，並將visited[w]置為true，同時將w入隊。
3.2.演算法的實作過程
白色表示未被訪問，灰色表示即將訪問，黑色表示已訪問。
visited陣列：0表示未訪問，1表示以訪問。
佇列：隊頭出元素，隊尾進元素。
1.初始時全部頂點皆未被訪問，visited陣列初始化為0，佇列中沒有元素。
圖3-2-1
2.即將造訪頂點v0。
#圖3-2-2
3.存取頂點v0，並置visited[0 ]的值為1，同時將v0入隊。
#圖3-2-3
4.將v0出隊，訪問v0的鄰接點v2。判斷visited[2]，因為visited[2]的值為0，訪問v2。
圖3-2-4
#5.將visited[2]置為1，並將v2入隊。
圖3-2-5
#6.訪問v0鄰接點v1。判斷visited[1],因為visited[1]的值為0，訪問v1。
圖3-2-6
#7.將visited[1]置為0，並將v1入隊。
圖3-2-7
#8.判斷visited[3],因為它的值為0 ，訪問v3。將visited[3]置為0，將v3入隊。
圖3-2-8
#9.v0的全部鄰接點都已被存取完成。將隊頭元素v2出隊，開始造訪v2的所有鄰接點。
開始訪問v2鄰接點v0，判斷visited[0]，因為其值為1，不進行訪問。
繼續存取v2鄰接點v4，判斷visited[4]，因為其值為0，存取v4，如下圖：
圖3-2-9
10.將visited[4]置為1，將v4入隊。
圖3-2-10
#11.v2的全部鄰接點都已被存取完成。將隊頭元素v1出隊，開始造訪v1的所有鄰接點。
開始訪問v1鄰接點v0，因為visited[0]值為1，不進行訪問。
繼續訪問v1鄰接點v4，因為visited[4]的值為1，不進行訪問。
繼續訪問v1鄰接點v5，因為visited[5]值為0，訪問v5，如下圖：
圖3-2-11
12.將visited[5]置為1，並將v5入隊。
圖3-2-12
#13.v1的全部鄰接點都已被訪問完畢，將隊頭元素v3出隊，開始造訪v3的所有鄰接點。
開始訪問v3鄰接點v0，因為visited[0]值為1，不進行訪問。
繼續訪問v3鄰接點v5，因為visited[5]值為1，不進行訪問。
圖3-2-13
#14.v3的全部鄰接點都已被存取完畢，將隊頭元素v4出隊，開始造訪v4的所有鄰接點。
開始訪問v4的鄰接點v2，因為visited[2]的值為1，不進行訪問。
繼續訪問v4的鄰接點v6，因為visited[6]的值為0，訪問v6，如下圖：
圖3-2-14
15.將visited[6]值為1，並將v6入隊。
圖3-2-15
#16.v4的全部鄰接點都已被存取完畢，將隊頭元素v5出隊，開始造訪v5的所有鄰接點。
開始訪問v5鄰接點v3，因為visited[3]的值為1，不進行訪問。
繼續訪問v5鄰接點v6，因為visited[6]的值為1，不進行訪問。
圖3-2-16
#17.v5的全部鄰接點都已被存取完畢，將隊頭元素v6出隊，開始造訪v6的所有鄰接點。
開始訪問v6鄰接點v4，因為visited[4]的值為1，不進行訪問。
繼續訪問v6鄰接點v5，因為visited[5]的值文1，不進行訪問。
圖3-2-17
#18.佇列為空，退出循環，全部頂點都存取完畢。
#圖3-2-18
3.3具體程式碼的實作
3.3.1用鄰接矩陣表示圖的廣度優先搜尋
/*一些量的定义*/ queue<char> q; //定义一个队列，使用库函数queue #define MVNum 100 //表示最大顶点个数 bool visited[MVNum]; //定义一个visited数组，记录已被访问的顶点
/*邻接矩阵存储表示*/
typedef struct AMGraph
{
char vexs[MVNum]; //顶点表
int arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵
int vexnum, arcnum; //当前的顶点数和边数
}
AMGraph;
/*找到顶点v的对应下标*/
int LocateVex(AMGraph &G, char v)
{
int i;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
if (G.vexs[i] == v)
return i;
}/*采用邻接矩阵表示法，创建无向图G*/
int CreateUDG_1(AMGraph &G)
{
int i, j, k;
char v1, v2;
scanf("%d%d", &G.vexnum, &G.arcnum); //输入总顶点数，总边数
getchar(); //获取'\n’，防止其对之后的字符输入造成影响
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
scanf("%c", &G.vexs[i]); //依次输入点的信息
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.arcs[i][j] = 0; //初始化邻接矩阵边，0表示顶点i和j之间无边
for (k = 0; k < G.arcnum; k++)
{
getchar();
scanf("%c%c", &v1, &v2); //输入一条边依附的顶点
i = LocateVex(G, v1); //找到顶点i的下标
j = LocateVex(G, v2); //找到顶点j的下标
G.arcs[i][j] = G.arcs[j][i] = 1; //1表示顶点i和j之间有边，无向图不区分方向
}
return 1;
}/*采用邻接矩阵表示图的广度优先遍历*/
void BFS_AM(AMGraph &G,char v0)
{
/*从v0元素开始访问图*/
int u,i,v,w;
v = LocateVex(G,v0); //找到v0对应的下标
printf("%c ", v0); //打印v0
visited[v] = 1; //顶点v0已被访问
q.push(v0); //将v0入队
while (!q.empty())
{
u = q.front(); //将队头元素u出队，开始访问u的所有邻接点
v = LocateVex(G, u); //得到顶点u的对应下标
q.pop(); //将顶点u出队
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
w = G.vexs[i];
if (G.arcs[v][i] && !visited[i])//顶点u和w间有边，且顶点w未被访问
{
printf("%c ", w); //打印顶点w
q.push(w); //将顶点w入队
visited[i] = 1; //顶点w已被访问
}
}
}
}3.3.2用鄰接表表示圖的廣度優先搜尋
/*找到顶点对应的下标*/
int LocateVex(ALGraph &G, char v)
{
int i;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
if (v == G.vertices[i].data)
return i;
}/*邻接表存储表示*/
typedef struct ArcNode //边结点
{
int adjvex; //该边所指向的顶点的位置
ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针
int info; //和边相关的信息，如权值
}ArcNode;
typedef struct VexNode //表头结点
{
char data;
ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VexNode,AdjList[MVNum]; //AbjList表示一个表头结点表
typedef struct ALGraph
{
AdjList vertices;
int vexnum, arcnum;
}ALGraph;/*采用邻接表表示法，创建无向图G*/
int CreateUDG_2(ALGraph &G)
{
int i, j, k;
char v1, v2;
scanf("%d%d", &G.vexnum, &G.arcnum); //输入总顶点数，总边数
getchar();
for (i = 0; i < G.vexnum; i++) //输入各顶点，构造表头结点表
{
scanf("%c", &G.vertices[i].data); //输入顶点值
G.vertices[i].firstarc = NULL; //初始化每个表头结点的指针域为NULL
}
for (k = 0; k < G.arcnum; k++) //输入各边，构造邻接表
{
getchar();
scanf("%c%c", &v1, &v2); //输入一条边依附的两个顶点
i = LocateVex(G, v1); //找到顶点i的下标
j = LocateVex(G, v2); //找到顶点j的下标
ArcNode *p1 = new ArcNode; //创建一个边结点*p1
p1->adjvex = j; //其邻接点域为j
p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p1; // 将新结点*p插入到顶点v1的边表头部
ArcNode *p2 = new ArcNode; //生成另一个对称的新的表结点*p2
p2->adjvex = i;
p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
G.vertices[j].firstarc = p1;
}
return 1;
}
/*采用邻接表表示图的广度优先遍历*/
void BFS_AL(ALGraph &G, char v0)
{
int u,w,v;
ArcNode *p;
printf("%c ", v0); //打印顶点v0
v = LocateVex(G, v0); //找到v0对应的下标
visited[v] = 1; //顶点v0已被访问
q.push(v0); //将顶点v0入队
while (!q.empty())
{
u = q.front(); //将顶点元素u出队，开始访问u的所有邻接点
v = LocateVex(G, u); //得到顶点u的对应下标
q.pop(); //将顶点u出队
for (p = G.vertices[v].firstarc; p; p = p->nextarc) //遍历顶点u的邻接点
{
w = p->adjvex;
if (!visited[w]) //顶点p未被访问
{
printf("%c ", G.vertices[w].data); //打印顶点p
visited[w] = 1; //顶点p已被访问
q.push(G.vertices[w].data); //将顶点p入队
}
}
}
}
#3.4.非聯通圖的廣度優先遍歷的實現方法
/*广度优先搜索非连通图*/
void BFSTraverse(AMGraph G)
{
int v;
for (v = 0; v < G.vexnum; v++)
visited[v] = 0; //将visited数组初始化
for (v = 0; v < G.vexnum; v++)
if (!visited[v]) BFS_AM(G, G.vexs[v]); //对尚未访问的顶点调用BFS
}4.深度優先搜尋
4.1演算法的基本想法
深度優先搜尋類似於樹的先序遍歷，具體流程如下：
準備工作：建立一個visited數組，用來記錄所有被造訪過的頂點。
1.從圖中v0出發，訪問v0。
2.找出v0的第一個未被訪問的鄰接點，訪問該頂點。以此頂點為新頂點，重複此步驟，直到剛造訪過的頂點沒有未被造訪的鄰接點為止。
3.返回前一個訪問過的仍有未被訪問鄰接點的頂點，繼續訪問該頂點的下一個未被訪問領接點。
4.重複2,3步驟，直至所有頂點均被訪問，搜尋結束。
4.2演算法的實作過程
1.初始時所有頂點均未被訪問，visited陣列為空。
圖4-2-1
#2.即將造訪v0。
圖4-2-2
#3.存取v0，並將visited[0]的值置為1。
圖4-2-3
#4.訪問v0的鄰接點v2，判斷visited [2]，因其值為0，訪問v2。
圖4-2-4
#5.將visited[2]設為1。
圖4-2-5
#6.訪問v2的鄰接點v0，判斷visited [0]，其值為1，不訪問。
繼續訪問v2的鄰接點v4，判斷visited[4]，其值為0，訪問v4。
圖4-2-6
#7.將visited[4]設為1。
圖4-2-7
#8.訪問v4的鄰接點v1，判斷visited[1]，其值為0，訪問v1。
圖4-2-8
#9.將visited[1]設為1。
圖4-2-9
#10.訪問v1的鄰接點v0，判斷visited [0]，其值為1，不訪問。
繼續訪問v1的鄰接點v4，判斷visited[4]，其值為1，不訪問。
繼續存取v1的鄰接點v5，判讀visited[5]，其值為0，存取v5。
圖4-2-10
#11.將visited[5]置為1。
圖4-2-11
#12.訪問v5的鄰接點v1，判斷visited [1]，其值為1，不訪問。
繼續訪問v5的鄰接點v3，判斷visited[3]，其值為0，訪問v3。
图4-2-12
13.将visited[1]置为1。
图4-2-13
14.访问v3的邻接点v0，判断visited[0]，其值为1，不访问。
继续访问v3的邻接点v5，判断visited[5]，其值为1，不访问。
v3所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v5，遍历v5所有邻接点。
访问v5的邻接点v6，判断visited[6]，其值为0，访问v6。
图4-2-14
15.将visited[6]置为1。
图4-2-15
16.访问v6的邻接点v4，判断visited[4]，其值为1，不访问。
访问v6的邻接点v5，判断visited[5]，其值为1，不访问。
v6所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v5，遍历v5剩余邻接点。
图4-2-16
17.v5所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v1。
v1所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v4，遍历v4剩余邻接点v6。
v4所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v2。
v2所有邻接点均已被访问，回溯到其上一个顶点v1，遍历v1剩余邻接点v3。
v1所有邻接点均已被访问，搜索结束。
图4-2-17
4.3具体代码实现
4.3.1用邻接矩阵表示图的深度优先搜索
邻接矩阵的创建在上述已描述过，这里不再赘述
void DFS_AM(AMGraph &G, int v)
{
int w;
printf("%c ", G.vexs[v]);
visited[v] = 1;
for (w = 0; w < G.vexnum; w++)
if (G.arcs[v][w]&&!visited[w]) //递归调用
DFS_AM(G,w);
}4.3.2用邻接表表示图的深度优先搜素
邻接表的创建在上述已描述过，这里不再赘述。
void DFS_AL(ALGraph &G, int v)
{
int w;
printf("%c ", G.vertices[v].data);
visited[v] = 1;
ArcNode *p = new ArcNode;
p = G.vertices[v].firstarc;
while (p)
{
w = p->adjvex;
if (!visited[w]) DFS_AL(G, w);
p = p->nextarc;
}
}
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