mod運算規則

mod運算，即求餘(取模)運算，是在整數運算中求一個整數 x 除以另一個整數y的餘數的運算，且不考慮運算的商數。在電腦程式設計上都有MOD運算，其格式為： mod(nExp1,nExp2)，即是兩個數值運算式作除法運算後的餘數。

取模主要是用於電腦術語。取餘則較多是數學概念。模運算在數論和程式設計上都有廣泛的應用，從奇偶數的判別到質數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。 （推薦學習：PHP影片教學）

雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數都是以純理論為主，對於模運算在程式設計中的應用涉及不多。

給定一個正整數p，任一個整數n，一定存在等式：

取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。

運算規則

模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。 其規則如下：

(a b) % p = (a % p b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

a ^ b % p = ( (a % p)^b) % p （4）

結合律：

#((a b) % p c) % p = (a (b c) % p) % p （5 )

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交換律：

(a b) % p = (b a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

(a b) % p = ( a % p b % p ) % p （9）

((a b)% p * c) % p = ((a * c) % p ( b * c) % p) % p （10）

重要定理

若a≡b (% p)，則對任意的c，都有(a c) ≡ (b c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，則對任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則(a c) ≡ (b d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p )，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)；（13）

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