最短路徑問題

最短路徑問題是圖論研究中的經典演算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。 最短路徑問題是組合最佳化領域的經典問題之一，它廣泛應用於電腦科學、交通工程、通訊工程、系統工程、運籌學、資訊理論、控制理論等眾多領域。 Dijkstra演算法是經典的最短路徑演算法。

演算法具體的形式包括：（推薦學習：PHP影片教學）

確定起點的最短路徑問題- 即已知起始結點，求最短路徑的問題。

確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。

確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

全域最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑。

Dijkstra演算法

Dijkstra演算法是經典的最短路徑演算法，其基本思想是：設定一個集合S存放已經找到最短路徑的頂點，S的初始狀態只包含源點v，對vi∈V-S，假設從源點v到vi的有向邊為最短路徑。以後每求得一條最短路徑v, …, vk，就將vk加入集合S中，並將路徑v, …, vk , vi與原來的假設相比較，取路徑長度較小者為最短路徑，重複上述過程，直到集合V中全部頂點加入到集合S。使用此演算法找到的是全域最優的最短路徑，當網路節點數量大、網路邊數較多時，有記憶體佔用大、時間複雜度高等不足，且Dijkstra演算法無法很好地解決含必經點約束的最短路徑問題。

蟻群演算法

蟻群演算法是由Dorigo、Maniezzo和Colorni等於1991 年首先提出來的，它來自螞蟻尋食的行為。透過研究發現，螞蟻個體之間是透過一種稱為信息素的外激素進行訊息傳遞的。螞蟻在行走過程中能感知周圍費洛蒙的強度， 並朝著費洛蒙濃度高的方向移動，當某隻螞蟻發現食物時，它在回巢的過程當中，會在返回的路上釋放信息素作為標記，同伴發現後會沿著此路尋找到食物。當同伴中多隻螞蟻都發現了食物但路徑長短不同時，因為螞蟻在短的路徑上往返所需要的時間相對較小，所以單位時間內走過的螞蟻越來越多，在這條路徑上的費洛蒙濃度就會越強，因此，該路徑上的螞蟻就會越來越多，逐漸選出一條最優的道路。

分類

可分成兩個子問題，即單源最短路徑問題和所有頂點對之間的最短路徑問題。前者是找出從某一頂點出發到圖中所有其他頂點的最短路徑，主要演算法有迪克斯徹演算法等；後者是求圖中每一對頂點之間的最短路徑，主要演算法有弗洛伊德算法等。

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