Python中Sympy代數符號運算的介紹

本篇文章帶給大家的內容是關於Python中Sympy代數符號運算的介紹，有一定的參考價值，有需要的朋友可以參考一下，希望對你有幫助。

在我們初、高中和大學近10年的學習時間裡，數學一直佔據著非常大的分量，但是回憶過去可以發現，我們把大量的時間都花在反覆解題、不斷運算上，計算方法、運算技巧、筆算能力以及數學公式的記憶彷彿成了我們學習數學的全部。這些記憶和技巧沒幾年就忘記了，但很多人甚至還記得那份陰影；筆算與解題在AI、圖形影像、資料分析等上被軟體取代。那我們學生時代的數學還剩下什麼呢？

計算器與數學

說起數學計算器，我們常見的是加減乘除四則運算，有了它，我們就可以擺脫筆算和心算的痛苦。四位數以上的加減乘除在數學的原理上其實並不難，但是如果不借助於計算器，光依賴我們的運算能力（筆算和心算），不僅運算的準確度大打折扣，而且還會讓我們對數學的運用停留在一個非常淺的層次。

儘管四則運算如此簡單，但是多位數運算的心算卻在我們生活中被歸類為天才般的能力。但是數學的應用應該要生活化、普及化，而不是只屬於天才的專利，計算器改變了這一切，這就是計算器的魅力。
計算器還可以做科學運算，例如乘方、開方、指數、對數、三角函數等，儘管這些知識在我們初中時代，透過紙筆也是能運算起來的，但是也僅限於一些極其常用和簡單的運算，一旦複雜起來，透過紙筆來運算就是一項複雜的工程了。所以說，計算器可以讓我們離數學的應用更近。

但是我們學生時代所學的數學可遠不止這些，尤其是高等數學（微積分）、線性代數、機率統計等數學知識應用非常廣泛（我也是後來才知道），但是由於他們的運算非常複雜，我們即便掌握了這些知識，想要應用它又談何容易，那有沒有微積分、線性代數、機率統計等的計算器呢？

答案是有的，它們就是電腦代數系統Computer Algebra System，簡稱CAS，Python的Sympy函式庫也支援有數學符號的微積分、線性代數等運算。

有了計算器，我們才能真正脫離數學複雜的解題本身，把精力花在對數學原理和應用的學習上，而這才是（在工作方面）數學學習的意義。

電腦代數系統

Sympy可以實現數學符號的運算，用它來進行數學表達式的符號推導和驗算，處理帶有數學符號的導數、極限、微積分、方程群組、矩陣等，就像科學計算器一樣簡單，類似電腦代數系統CAS，雖然CAS通常是視覺化軟體，但維基百科上也把Sympy歸為CAS。

幾大知名的數學軟體例如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符號運算，在上篇文章中我們已經拿Python和R、Matlab對比了，顯然Python在指定場景下確實優勢非常明顯，於是我又調查了一下Sympy與Mathematica的比較，在輸入公式以及生成圖表方面，Sympy確實不行（這點Python有其他函式庫來彌補），Mathematica能夠做什麼，Sympy基本上也能做什麼。

所以說Python在專業數學（數學、數據科學等）領域，由於其擁有非常多而且強大的第三方庫，構成了一個極其完善的生態鏈，即使是面對世界上最為強勢最為硬派的軟體也是絲毫不虛的。

本專欄用Python學數學的下一期也會介紹一些非常實用的數學工具和數學教材資源，讓數學的學習更簡單更生動。

Sympy的符號運算

如果之前是學數學相關專業了解電腦代數系統CAS，就會對數學符號的運算比較熟悉，而如果之前是程式設計師，可能會有點不太明白，下面我們就來了解一下。

Sympy與Math函數的差異

我們先來看看Sympy函式庫和Python內建的Math函數對數值計算的處理有什麼不同。為了讓程式碼可執行，下面的程式碼都是基於Python3的完整程式碼。

import sympy,math
print(math.sqrt(8))
print(sympy.sqrt(8))

執行之後，結果顯示為：

2.8284271247461903
2*sqrt(2)

math模組是直接解出一個浮點值，而Sympy則是用數學符號表示出結果，結合LaTex的語法就可以得出我們在課本裡最熟悉的：$2\sqrt{2}$。

數學符號與表達式

我们要对数学方程组、微积分等进行运算时，就会遇到变量比如x,y,z,f等的问题，也会遇到求导、积分等代数符号表达式，而Sympy就可以保留变量，计算有代数符号的表达式的。

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
k, m, n = symbols('k m n')
print(3*x+y**3)

输出的结果为：3*x + y**3，转化为LaTex表示法之后结果为$3x+y^3$，输出的结果就带有x和y变量。Symbol()函数定义单个数学符号；symbols()函数定义多个数学符号。

折叠与展开表达式

factor()函数可以折叠表达式，而expand()函数可以展开表达式，比如表达式：$x^4+xy+8x$，折叠之后应该是$x(x^3+y+8)$。我们来看具体的代码：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=x**4+x*y+8*x
f_expr=factor(expr)
e_expr=expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)

表达式的折叠与展开，对应的数学知识就是因式分解，相关的数学知识在人教版初二的教程里。用Python学习数学专栏的目的就是要Python与初高中、大学的数学学习结合起来，让数学变得更加简单生动。

表达式化简

simplify()函数可以对表达式进行化简。有一些表达式看起来会比较复杂，就拿人教版初二上的一道多项式的乘法为例，简化$(2x)^3(-5xy^2)$。

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)

求解方程组

在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用Sympy的solve()函数就能轻松解题。

解一元一次方程

我们来求解这个一元一次方程组。(题目来源于人教版七年级数学上)
$$6 \times x + 6 \times(x-2000)=150000$$

from sympy import *
x = Symbol('x')
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))

我们需要掌握Python的代码符号和数学符号之间的对应关系,解一元一次方程就非常简单。

解二元一次方程组

我们来看如何求解二元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

$$ \begin{cases} x+ y =10,\\ 2 \times x+ y=16   \end{cases} $$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是
$$x=6,y=4$$。

解三元一次方程组

我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

$$ \begin{cases} x+y+z=12,\\ x+2y+5z=22,\\ x=4y.   \end{cases} $$

执行之后，很快可以得出结果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是
$$x=8,y=2,z=2$$

解一元二次方程组

比如我们来求解人教版九年级一元二次方程组比较经典的一个题目，$ax^2+bx+c=0$.

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
a,b,c=symbols('a b c')
expr=a*x**2 + b*x + c
s_expr=solve( expr, x)
print(s_expr)

执行之后得出的结果为[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我们知道根与系数的关系二次方程会有两个解，这里的格式就是一个列表。转为我们常见的数学公式即为：
$$\frac{-b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a} 、-\frac{b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a}$$

微积分Calculus

微积分是大学高等数学里非常重要的学习内容，比如求极限、导数、微分、不定积分、定积分等都是可以使用Sympy来运算的。
求极限
Sympy是使用limit(表达式，变量，极限值)函数来求极限的，比如我们要求$\lim \limits_{x \to 0} \frac{sinx(x)}{x}$的值。

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
expr = sin(x)/x
l_expr=limit(expr, x, 0)
print(l_expr)

执行后即可得到结果为1。

求导

可以使用diff(表达式,变量,求导的次数)函数对表达式求导，比如我们要对$sin(x)e^x$进行$x$求导，以及求导两次，代码如下：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x)*exp(x)
diff_expr=diff(expr, x)
diff_expr2=diff(expr,x,2)
print(diff_expr)
print(diff_expr2)

求导一次的结果就是exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是$e^xsin(x)+e^xcos(x)$；求导两次的结果是2*exp(x)*cos(x)，也就是
$$2e^xcosx$$

求不定积分

Sympy是使用integrate(表达式,变量)来求不定积分的，比如我们要求$\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)

执行之后的结果为：exp(x)*sin(x) 转化之后为：
$$e^xsin(x)$$

求定积分

Sympy同样是使用integrate()函数来做定积分的求解，只是语法不同：integrate(表达式,（变量,下区间,上区间))，我们来看如果求解
$\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)

执行之后的结果为sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是
$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2}$$

Sympy能够做的也远不止这些，初高中、大学的数学运算题在Sympy极为丰富的功能里不过只是开胃入门小菜而已。

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