子集和問題的實例詳解

註：因為「子集與問題」的學習不夠深入，所以本文在講解動態規劃遞推公式中可能存在敘述不清，或者錯誤的地方，如有發現望能不吝賜教。

　　子集與問題可描述如下：給定n個正整數W=(w _#1, w₂, …, w_n)與正整數M，要求尋找這樣一個子集I⊆{1, 2, 3, ..., n},使得∑wi=M,i∈I^[1] 。舉個例子對子集和問題做一個通俗的解釋：集合W=(1, 2, 3, 4, 5)，給定一個正整數#M =5，是否存在W#的子集#，使得子集 #I中的元素相加等於M，這個例子顯然存在子集I=(2, 3)。

　　問題定義：正整數集合S=(w1, w2, w3, …，wn)，給定正整數W，s[i, j]中的##i表示S的子集，j表示子集i的和。如果S的某個集合i元素之和j=M##，即問題有解。 　　舉例：

S=(7, 34, 4, 12, 5, 3)

，W=6 #，是否存在S的子集，它的元素總和等於W。 　　這個問題同樣有多種解法，在本文中利用動態規劃的想法來求解，那麼就需要推導出一個遞推公式。我們將集合

S

不斷的分割成小的集合，這就是動態規劃的第一步：定義子問題。集合S最小的集合就是空集合，空集合當然不存在它的元素總和等於W，當然若j=0的情況下空集合是符合條件的。

　　這個表格的欄位代表的是集合中的元素總和，最多只到達元素W，大於##W當然沒意義了。只要在j=6列中出現1，即得到問題的解。行表示前i個（包括i）元素組成的子集（這句話可能會有點疑問，這樣豈不是掃描不到所有情況嗎？ i=0表示為空集合。

　　我們定義了

j=6時，空集合情況為true#。那麼當j=0時，這樣對任意子集和都成立（空集合是它們的子集）。所以表格繼續填入如下圖。

　　這些其實是

動態規劃的第三步：定義初始狀態。狀態規劃第二步則是定義狀態轉移規則，即狀態之間的遞推關係。

　　s[i, j]

中的i表示的是前i

個子集(包括i)。實際上我們從這裡進行劃分為兩部分：　　　　1)不包括第i個元素的前#i個子集，即

###s[i - 1, j]#######;#########　　　　2)包含第###i#######個元素的前######i######個子集。 ######　　對於第###1)######種情況較易理解，前######i - 1######個集合元素總和等於### ###j######，那麼前######i######個集合元素就存在子集元素總和等於######j#######。 ######

　　難於理解的是第2)種情況。對於第二種情況能明確一點就是s[i, X]中的i是確定的，關鍵是j，j此時如何定義？利用數學中的「特值法」#，舉例集合(3, 34, 9)，是否存在給定子集的元素總和等於37##i=2（子集為(3, 34)），j = 37，此時「 #包括第i個元素的前i子集」這種情況下，s[2, 37] => s[2, 37 - 34] = s[2, 3]，子集(3 , 34)當然存在它的子集元素總和等於3。那如果j = 36，s[2, 36] => s[2, 36 - 34] = s[2, 2]，子集(3, 34)顯然不存在它的子集元素總和等於2。那j = 1呢，

s[2, 1] => s[2, 1 - 34] = s[2, -32]

，

j - wi < 0

#，此時

s[2, 1] => s[2 - 1, 1] = s[1, 1]，子集(3)顯然不存在它的子集元素總和等於1。 　　綜上，遞推式如下圖：　　在用程式碼實作這個演算法前，先透過遞推公式填入上面的矩陣。 　　①i = 1, 此時子集為(7)，

j = 1#######， ######j ###∉ (∅)###，選擇狀況######2) => s[0, 1] || s[1, -6]#### ##（######i = 0######表示空集合）。顯然######s[1, 1] = 0######。 ######

　　②i = 1，此时子集为(7)，j = 2，j ∉ (∅)，选择情况2) => s[0, 2] || s[1, -5]（i = 0表示空集）。显然s[1, 2] = 0。

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　　⑥i = 1，此时子集为(7)，j = 6，j ∉ (∅)，选择情况2) => s[0, 6] || s[1, -1]（i = 0表示空集）。显然s[1, 6] = 0。

　　最后填充为如下图所示：

　　继续填充最后一行：　　

　　①i = 6, 此时子集为(7, 34, 4, 12, 5, 3)，j = 1，j ∉ (7, 34, 4, 12, 5)，选择情况2) => s[5, 1] || s[6, -2]（i = 0表示空集）。显然s[6, 1] = 0。

　　②i = 6, 此时子集为(7, 34, 4, 12, 5, 3)，j = 2，j ∉ (7, 34, 4, 12, 5)，选择情况2) => s[5, 1] || s[6, -1]（i = 0表示空集）。显然s[6, 2] = 0。

　　③i = 6, 此时子集为(7, 34, 4, 12, 5, 3)，j = 3，j ∉ (7, 34, 4, 12, 5)，选择情况2) => s[5, 1] || s[6, 0]。显然s[6, 3] = 1。

　　...

　　⑥i = 6, 此时子集为(7, 34, 4, 12, 5, 3), j = 6, j ∉ (7, 34, 4, 12, 5)，选择情况2) => s[5, 6] || s[6, 3]。显然s[6, 6] = 1。

　　Java

 1 package com.algorithm.dynamicprogramming; 2  3 import java.util.Arrays; 4  5 /** 6  * 子集和问题 7  * Created by yulinfeng on 7/2/17. 8  */ 9 public class SubsetSumProblem {10 11     public static void main(String[] srgs) {12         int[] sets = {7, 34, 4, 12, 5, 3};13         int sum = 87;14         boolean isExistSubSet = subsetSumProblem(sets, sum);15         System.out.println("集合" + Arrays.toString(sets) + "是否存在子集的和等于" + sum + ":" + isExistSubSet);16     }17 18     private static boolean subsetSumProblem(int[] sets, int sum) {19         int row = sets.length + 1;20         int col = sum + 1;21         int[][] solutionMatrix = new int[row][col];22         solutionMatrix[0][0] = 1;23 24         /**25          *    0 1 2 3 4 5 626          * 0 |1|0|0|0|0|0|0|27          * 1 |x|x|x|x|x|x|x|28          * 2 |x|x|x|x|x|x|x|29          * 3 |x|x|x|x|x|x|x|30          * 3 |x|x|x|x|x|x|x|31          * 4 |x|x|x|x|x|x|x|32          * 5 |x|x|x|x|x|x|x|33          * 6 |x|x|x|x|x|x|x|34          */35         for (int i = 1; i < col; i++) {36             solutionMatrix[0][i] = 0;37         }38         /**39          * 初始状态40          *    0 1 2 3 4 5 641          * 0 |1|0|0|0|0|0|0|42          * 1 |1|0|x|x|x|x|x|43          * 2 |x|x|x|x|x|x|x|44          * 3 |x|x|x|x|x|x|x|45          * 3 |x|x|x|x|x|x|x|46          * 4 |x|x|x|x|x|x|x|47          * 5 |x|x|x|x|x|x|x|48          * 6 |1|0|0|x|x|x|x|49          * [i][0] = 1，按行填充50          */51         for (int i = 1; i < row; i++) {52             solutionMatrix[i][0] = 1;53             for (int j = 1; j < col; j++) {54                 solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i - 1][j];55 56                 if (solutionMatrix[i][j] == 1) {57                     solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i][j];58                 } else if ( j - sets[i - 1] >= 0 && solutionMatrix[i][j - sets[i - 1]] == 1) {59                     solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i][j - sets[i - 1]];60                 } else {61                     solutionMatrix[i][j] = 0;62                 }63 64                 if (j == col - 1 && solutionMatrix[i][j] == 1) {65                     return true;66                 }67             }68         }69 70         return false;71     }72 }

　　Python3

 1 def subset_sum_problem(sets, sum): 2     row = len(sets) + 1 3     col = sum + 1 4     solutionMatrix = [[0 for col in range(col)] for row in range(row)] 5     solutionMatrix[0][0] = 1 6     for i in range(1, col): 7         solutionMatrix[0][i] = 0 8  9     for j in range(1, row):10         solutionMatrix[j][0] = 111         for k in range(1, col):12             solutionMatrix[j][k] = solutionMatrix[j - 1][k]13             if solutionMatrix[j][k] == 1:14                 solutionMatrix[j][k] = solutionMatrix[j][k]15             elif (k - sets[j - 1] >= 0) and (solutionMatrix[j][k - sets[j - 1]] == 1):16                 solutionMatrix[j][k] = solutionMatrix[j][k - sets[j - 1]]17             else:18                 solutionMatrix[j][k] = 019             if k == col - 1 and solutionMatrix[j][k] == 1:20                 return True21 22     return False23 24 sets = [7, 34, 4, 12, 5, 3]25 num = 626 is_exist = subset_sum_problem(sets, num)27 print(is_exist)

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