Photoshop高斯模糊濾鏡的演算法總結

        最近有感於部分網友對高斯模糊濾鏡的研究，現總結如下。高斯模糊是數位影像模板處理法的一種。其模板是根據二維常態分佈（高斯分佈）函數計算出來的。 
        常態分佈最早由A.棣莫弗求二項分佈的漸近公式。 C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。 P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。故名高斯模糊。

        一維常態分佈的函數定義：

       

       

       常態分佈記作N(μ，σ2 )。 遵從常態分佈的隨機變數的機率規律為取  μ鄰近的值的機率大  ，而取離μ越遠的值的機率越小；σ越小，分佈越集中在μ附近，σ越大，分佈越分散。常態分佈的密度函數的特徵是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無限遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低  ，影像是一條位於x軸上方的鐘形曲線。當μ＝0，σ2 ＝1時，稱為標準常態分佈，記為N（0，1）。

        兩個常數的意義：μ-期望，σ^2 變異數。

        以下我們解決第一個問題：高斯模糊濾鏡中的半徑是什麼？答案是高斯半徑就是公式中的σ。

        高斯曲線的圖形和半徑的意義如下圖（來自Adobe SDK中技術支援專家的文件）所示：

        可見高斯半徑（σ）對曲線形狀的影響，σ越小，曲線越高越尖，σ越大，曲線越低越平緩。對二維影像來說，是一個鐘形曲面，高斯半徑越小，曲面越高越尖越陡峭；高斯半徑越大，曲面越低越平緩。因此高斯半徑越小，模糊越小，高斯半徑越大，則模糊程度越大。我們將看到ps對高斯半徑的範圍定義是【0.1~250】。當半徑為0.1時，高斯模板在計算後只有中間像素為1，其他像素均=0（實際上只是趨近0），即影像不會有變化。

         第二個疑問，高斯模板大小與高斯半徑的關係？這是一個一直困擾我們的誤解。因為我們的思維進入了物理實現的迷思。在物理實作中，高斯模板有界，使我們忽略了這個問題的真正答案：高斯模板在邏輯上是無邊界的。也就是說高斯模板本質上是邏輯上無窮拓展曲面的一個近似。因此，模板大小我們應該認為它是無限的。只不過在計算的時候，因為在遠處趨近0，因此在某個閾值之下我們不再考慮這些值，這個閾值就是模板邊界。

         下面，二維高斯曲面的公式（x,y代表像素的模板座標，模板中心位置為原點）：

 

    即：g(x,y)= (  1 / (2 *pi*σ^2)  )  *   exp(   -(x^2+y^2)/(2*σ^2)  ) ;

         以這個公式，我們可以計算出不同半徑下的模板，半徑模板是無窮大的，只是在中心較遠處，他們會趨近0.例如，我們計算出r=0.7時的一個歸一化後的高斯模板：

高斯模板（guass radius=0.700000）
%
繪製高斯模糊曲面！