堆排序演算法的解說及Java版實現

堆是資料結構中的重要結構，了解了「堆」的概念和操作，可以快速掌握堆排序。

堆的概念
堆是一種特殊的完全二元樹（complete binary tree）。如果一棵完全二元樹的所有節點的值都不小於其子節點，稱為大根堆（或大頂堆）；所有節點的值都不大於其子節點，稱為小根堆（或小頂堆）。
在陣列（在0號下標儲存根節點）中，容易得到下面的式子（這兩個式子很重要）：
1.下標為i的節點，父節點座標為(i-1) /2;
2.下標為i的節點，左子節點座標為2*i+1，右子節點為2*i+2。

堆的建立和維護
堆可以支援多種操作，但現在我們關心的只有兩個問題：
1.給定一個無序數組，如何建立為堆？
2.刪除堆頂元素後，如何調整數組成為新堆？
先看第二個問題。假定我們已經有一個現成的大根堆。現在我們刪除了根元素，但並沒有移動別的元素。想想發生了什麼事：根元素空了，但其它元素仍保持著堆的性質。我們可以把最後一個元素（代號A）移到根元素的位置。如果不是特殊情況，則堆的性質被破壞。但這只是由於A小於其某個子元素。於是，我們可以把A和這個子元素調換位置。如果A大於其所有子元素，則堆調整好了；否則，重複上述過程，A元素在樹狀結構中不斷“下沉”，直到合適的位置，數組重新恢復堆的性質。上述過程一般稱為“篩選”，方向顯然是自上而下。
刪除一個元素是如此，插入一個新元素也是。不同的是，我們把新元素放在末尾，然後和其父節點做比較，也就是自下而上篩選。
那麼，第一個問題要怎麼解決呢？
我看過的資料結構的書很多都是從第一個非葉子結點向下篩選，直到根元素篩選完畢。這個方法叫“篩選法”，需要循環篩選n/2個元素。
但我們也可以藉鏡「無中生有」的思路。我們可以視第一個元素為一個堆，然後不斷在其中加入新元素。這個方法叫做“插入法”，需要循環插入(n-1)個元素。
由於篩選法和插入法的方式不同，所以，相同的數據，它們建立的堆一般不同。

大致了解堆之後，堆排序就是水到渠成的事情了。

演算法概述/思路
我們需要一個升序的序列，怎麼辦呢？我們可以建立一個最小堆，然後每次輸出根元素。但是，這個方法需要額外的空間（否則將造成大量的元素移動，其複雜度會飆升到O(n^2)）。如果我們需要就地排序（即不允許有O(n)空間複雜度），怎麼辦？
有辦法。我們可以建立最大堆，然後我們倒著輸出，在最後一個位置輸出最大值，次末位置輸出次大值…由於每次輸出的最大元素會騰出第一個空間，因此，我們恰好可以放置這樣的元素而不需要額外空間。很漂亮的想法，是不是？

public class HeapSort {
  
  public static void main(String[] args) {
    int[] arr = { 50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20 };
    System.out.println("排序之前：");
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
      System.out.print(arr[i] + " ");
    }
  
    // 堆排序
    heapSort(arr);
  
    System.out.println();
    System.out.println("排序之后：");
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
      System.out.print(arr[i] + " ");
    }
  }
  
  /**
   * 堆排序
   */
  private static void heapSort(int[] arr) { 
    // 将待排序的序列构建成一个大顶堆
    for (int i = arr.length / 2; i >= 0; i--){ 
      heapAdjust(arr, i, arr.length); 
    }
      
    // 逐步将每个最大值的根节点与末尾元素交换，并且再调整二叉树，使其成为大顶堆
    for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) { 
      swap(arr, 0, i); // 将堆顶记录和当前未经排序子序列的最后一个记录交换
      heapAdjust(arr, 0, i); // 交换之后，需要重新检查堆是否符合大顶堆，不符合则要调整
    }
  }
  
  /**
   * 构建堆的过程
   * @param arr 需要排序的数组
   * @param i 需要构建堆的根节点的序号
   * @param n 数组的长度
   */
  private static void heapAdjust(int[] arr, int i, int n) {
    int child;
    int father; 
    for (father = arr[i]; leftChild(i) < n; i = child) {
      child = leftChild(i);
        
      // 如果左子树小于右子树，则需要比较右子树和父节点
      if (child != n - 1 && arr[child] < arr[child + 1]) {
        child++; // 序号增1，指向右子树
      }
        
      // 如果父节点小于孩子结点，则需要交换
      if (father < arr[child]) {
        arr[i] = arr[child];
      } else {
        break; // 大顶堆结构未被破坏，不需要调整
      }
    }
    arr[i] = father;
  }
  
  // 获取到左孩子结点
  private static int leftChild(int i) {
    return 2 * i + 1;
  }
    
  // 交换元素位置
  private static void swap(int[] arr, int index1, int index2) {
    int tmp = arr[index1];
    arr[index1] = arr[index2];
    arr[index2] = tmp;
  }
}

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