曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？

曲線積分變量替換詳解：化簡定積分

本文詳細解釋如何通過變量替換，將定積分$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$ 簡化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。 許多同學在處理這類積分時會遇到困難。

並非採用極坐標變換，而是利用簡單的變量替換法即可解決。 關鍵在於選擇合適的替換變量。

解題步驟：

我們選擇替換變量$y = \sin(t)$。 由於原積分區間為$0 \le y \le 1$，則對應的$t$ 的區間為$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$。在這個區間內，$\sin(t)$ 和$\cos(t)$ 均為非負數。

1. 替換變量:將$y = \sin(t)$ 代入原積分式：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$

2. 替換積分限:當$y = 0$ 時，$t = 0$；當$y = 1$ 時，$t = \frac{\pi}{2}$。

3. 計算微分:對$y = \sin(t)$ 求導，得到$dy = \cos(t)dt$

4. 代入積分式:將$y = \sin(t)$ 和$dy = \cos(t)dt$ 代入原積分式：

   $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}} \cos(t) dt$

5. 化簡:由於$1 - \sin^2t = \cos^2t$，且在$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ 區間內$\cos(t) \ge 0$，所以$\sqrt{1-\sin^2t} = \sqrt{\cos^2t} = \cos(t)$。 代入後，積分式變為：

   $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos(t)} \cos(t) dt$

6. 最終結果:化簡後，得到：

   $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$

通過這個巧妙的變量替換，我們成功地將一個複雜的積分簡化為一個更容易計算的形式。 記住，選擇合適的替換變量以及正確處理積分限和微分項是解題的關鍵。

以上是曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！