如何使用Python和NumPy求解圓上一點到直線的最短距離？

Python和NumPy求解圓上一點到直線最小距離

本文探討如何利用Python和NumPy庫計算三維空間中圓上一點到直線的最小距離，並給出該點的坐標。 我們將處理圓與直線不共面的情況。

問題描述

已知圓心o = (0.3501, -0.0881, -4.8466) ，圓的法向量n = (0.4163, -0.8326, -0.3653) ，圓的半徑r = 1.34954 ，以及直線上的兩點a = (3.1932, -0.9005, 0.8082)和b = (1.9885, -0.9691, -0.8353) 。 目標是找到圓上一點p ，使其到直線ab的距離最小，併計算p的坐標。

算法原理

由於圓與直線可能不共面，最小距離並非圓心到直線的垂線距離。我們需要：

1. 計算直線的方向向量:通過b - a得到。
2. 計算直線的方向向量:將其標準化，得到單位方向向量。
3. 計算圓心到直線的距離向量:找到圓心到直線上一點的向量，並投影到直線的方向向量上，從而得到圓心到直線的距離。
4. 計算圓心到直線垂足的向量:利用步驟3的結果，計算圓心到直線垂足的向量。
5. 計算圓心到直線垂足的向量在垂直於直線的平面上的投影:這個投影向量指向圓上距離直線最近的點。
6. 計算圓上最近點:將投影向量標準化，乘以圓的半徑，然後加到直線垂足上，得到圓上最近點的坐標。

Python代碼實現

import numpy as np

# 輸入數據o = np.array([0.3501, -0.0881, -4.8466])
n = np.array([0.4163, -0.8326, -0.3653])
r = 1.34954
a = np.array([3.1932, -0.9005, 0.8082])
b = np.array([1.9885, -0.9691, -0.8353])

# 計算直線方向向量v = b - a
v = v / np.linalg.norm(v) # 標準化# 計算圓心到直線一點的向量oa = o - a

# 計算圓心到直線的距離d = np.dot(oa, v)

# 計算直線垂足f = ad * v

# 計算圓心到垂足的向量of = o - f

# 計算投影到垂直於直線的平面上的向量proj = of - np.dot(of, v) * v

# 計算圓上最近點p = fr * proj / np.linalg.norm(proj)

print("圓上距離直線最近的點的坐標為:", p)

代碼解釋

代碼清晰地實現了上述算法步驟。 numpy庫提供了高效的向量運算，簡化了計算過程。 最終輸出結果為圓上一點p的坐標，該點到直線ab的距離最小。

這個改進後的版本更加簡潔高效，並對算法步驟進行了更清晰的解釋。

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