我們如何產生給定集合的所有集合分區？

產生所有集合分區

組合數學中的基本問題之一是尋找給定集合的所有分區。集合劃分將集合劃分為非空的不相交子集，稱為區塊或部分。

在這個問題中，我們尋求一種方法來列舉具有不同元素的集合的所有劃分。考慮集合 {1, 2, 3}。其分區為：

• {{1}, {2}, {3}}
• {{1, 2}, {3}}
• { {1, 3}, {2}}
• {{1}, {2, 3}}
• {{1, 2, 3}}

分區演算法

任務可以分解為兩個子問題：分割成兩部分以及將一部分分割成多個

兩部分分區

對於n 元素集，可以透過將每個元素表示為n- 中的一個位元來產生所有兩部分分區位元模式。 0 位元表示放置在第一部分中，1 位元表示放置在第二部分。為了避免交換部件時出現重複結果，我們始終將第一個元素指派給第一個部件。這留下 (2^(n-1))-1 唯一的兩部分模式。

遞歸分區

使用兩部分分區技術，我們可以遞歸構造所有分區。

1. 從一個空的固定部分開始，原始集合作為後綴。
2. 產生後綴的兩部分分區。
3. 對於每個後綴分區，遞歸地將其第二部分分區為多個部分。
4. 將固定部分與遞歸組合分區以獲得包含固定部分的所有分區。
5. 重複步驟4，直到所有元素都已分區。

C# 實作

以下 C# 實作採用遞歸分區演算法：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace PartitionTest {
    public static class Partitioning {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements) {
            return GetAllPartitions(new T[][]{}, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[][] fixedParts, T[] suffixElements) {
            // Trivial partition: fixed parts followed by all suffix elements as a single block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Two-group-partitions of suffix elements and their recursive sub-partitions
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);
            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions) {
                var subPartitions = GetAllPartitions(
                    fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(),
                    suffixPartition.Item2);
                foreach (var subPartition in subPartitions) {
                    yield return subPartition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(T[] elements) {
            if (elements.Length < 2) yield break;

            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++) {
                List<T>[] resultSets = {
                    new List<T> { elements[0] },
                    new List<T>() 
                };
                
                for (int index = 1; index < elements.Length; index++) {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

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