如何直接計算二維和三維兩個向量之間的順時針角度？

計算向量之間順時針角度的直接方法

處理二維向量時，可以直接使用行列式計算順時針角度和點積。點積提供有關餘弦的信息，而行列式則揭示角度的正弦。使用 atan2 函數，您可以獲得順時針角度，如下所示：

dot = x1*x2 + y1*y2  # Dot product of [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # Clockwise angle

請注意，角度的方向與座標系對齊。對於右手系統（x 向右，y 向下），順時針角度產生正值。反轉輸入的順序會改變角度的符號。

在三維空間中，向量可以沿著任一平面分佈，旋轉軸也是任意的。通常，角度被視為正值，軸的方向為正角。然後，歸一化向量之間的點積可以確定角度：

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2  # Dot product of [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1  # Squared length of vector 1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2  # Squared length of vector 2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))  # Clockwise angle

如果向量位於已知平面內，則可以透過將平面的法向量合併到行列式中來使用修改後的2D 計算：

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = n * (v1 × v2)  # Triple product
angle = atan2(det, dot)

其中n 是單位長度法向量。

可能需要調整以確保角度落在範圍內所需的範圍（例如，[0, 360°]）。透過在負結果上加上 2π 或使用 atan2(-det, -dot) π，可以相應地調整角度。

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