如何有效計算 2D 和 3D 空間中兩個向量之間的順時針角度？

高效計算向量之間的順時針角度

傳統上，需要利用點積計算兩個向量之間的角度，點積決定了向量之間的內角範圍為0 至180 度。然而，這種方法在確定角度與其補角之間的適當結果時存在挑戰。

是否有更直接的方法來計算順時針角度？

2D 案例

與點積與角度餘弦的關係類似，行列式與其正弦成正比。結合這種關係，我們可以計算角度如下：

dot = x1 * x2 + y1 * y2  # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1 * y2 - y1 * x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

計算出的角度的方向與座標系的方向一致。在左手座標系中，x 指向右側，y 指向下方，順時針角度將產生正值。相反，在 y 指向上方的數學座標系中，結果反映逆時針角度，這是數學中的慣例。交換輸入向量的順序會改變符號，從而可以彈性地修改結果的符號。

3D Case

在三維空間中，任意向量定義自己的軸旋轉垂直於兩者。由於此軸沒有固定方向，因此無法唯一確定旋轉角度的方向。常見的約定是指定正角度並對齊軸以適應此約定。在這種情況下，歸一化向量的點積足以進行角度計算：

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2  # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1 * x1 + y1 * y1 + z1 * z1
lenSq2 = x2 * x2 + y2 * y2 + z2 * z2
angle = acos(dot / sqrt(lenSq1 * lenSq2))

嵌入3D 的平面

對於約束在具有已知法線的平面內的向量向量n，需要考慮特定情況。旋轉軸與n 重合，n 的方向固定軸的方向。在這種情況下，我們可以修改上面的2D 計算，將n 包含在行列式中，將其轉換為3x3 矩陣：

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2
det = x1 * y2 * zn + x2 * yn * z1 + xn * y1 * z2 - z1 * y2 * xn - z2 * yn * x1 - zn * y1 * x2
angle = atan2(det, dot)

為了使此計算有效，法向量n 必須標準化為單位長度。

或者，行列式可以表示為三元組產品：

det = n · (v1 × v2)

這種方法在某些API 中可能更容易實現，並提供對底層機制的深入了解：叉積與角度的正弦值成正比，並且垂直於平面，這意味著它是一個倍數的n.因此，點積本質上是測量應用了正確符號的向量的長度。

範圍0 – 360°

大多數atan2 實現返回該範圍內的角度[-π, π]（以弧度為單位）或[-180° , 180°]（以度為單位）。要獲得 [0, 2π] 或 [0°, 360°] 範圍內的正角度，可以應用以下變換：

dot = x1 * x2 + y1 * y2  # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1 * y2 - y1 * x2  # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

或者，以下表達式避免區分大小寫：

dot = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2  # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1 * x1 + y1 * y1 + z1 * z1
lenSq2 = x2 * x2 + y2 * y2 + z2 * z2
angle = acos(dot / sqrt(lenSq1 * lenSq2))

此校正技術不限於此特定問題，而是可以應用於涉及 atan2 的任何場景。

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