Java 樹終極指南：從根到枝（還有葉子！）

1. 樹木簡介

啊，這棵不起眼的樹。不只是窗外的枝繁葉茂的結構，而是電腦科學中基本的、多用途的資料結構。樹無所不在－從檔案系統到解析表達式和管理資料庫。了解樹木就像爬樹一樣，但別擔心——我將成為你這段旅程的安全帶、頭盔和嚮導。

2. 什麼是樹？

樹是一種分層資料結構，由透過邊連接的節點組成。與您童年的樹屋不同，那裡充滿了樂趣和遊戲，電腦科學樹是嚴肅的事情：

• 根節點：起點，就像公司的CEO一樣－每個人最終都向他報告。
• 子節點：直接連接到另一個節點（其父節點）下方的節點。
• 父節點：孩子正上方的節點（如監護人）。
• 葉節點：沒有任何子節點的節點。他們是隊伍的末端（又稱為退休前的最後一批員工）。
• 子樹：較大結構中的一棵迷你樹，可能形成自己的分裂團隊。
• 深度：從根到特定節點的邊數。
• 高度：從節點到最深葉子的邊數。

3. 為什麼是樹？目的

為什麼要使用樹木？很高興你問了。樹木非常適合：

• 分層資料表示：檔案系統、組織架構、決策樹。
• 搜尋和排序：二元搜尋樹（BST）可以在 O(log n) 時間內進行搜尋。
• 資料管理：高效率的儲存和檢索，例如資料庫（B 樹）。
• 動態資料：當您需要動態變更大小或內容的結構時，樹非常有用。

4. 樹木的種類及其用例

4.1 二元樹

• 定義：每個節點最多有兩個子節點（左和右）。
• 目的：簡單高效的遍歷。非常適合表示分層資料和二進位表達式。

4.2 二元搜尋樹（BST）

• 定義：附加限制的二元樹 - 左子節點小於父節點，右子節點大於父節點。
• 用途：快速尋找、插入、刪除。

• 程式碼範例：
  

4.3 平衡樹（如 AVL、紅黑）

• AVL樹：自平衡二元搜尋樹，左右子樹的高度差不能大於1。
• 紅黑樹：平衡二元搜尋樹，其屬性確保沒有路徑的長度超過其他路徑的兩倍。
• 目的：保持O(log n)時間進行插入、刪除和搜尋操作。

4.4 N 叉樹

• 定義：一棵樹，其中每個節點最多可以有 N 個子節點。
• 用途：比二元樹更靈活，通常用於表示更複雜的結構，例如檔案系統。

4.5 Trie（前綴樹）

• 定義：用於儲存字串的樹，其中每個節點代表一個字元。
• 目的：快速找出單字和前綴（例如自動完成功能）。

4.6 線段樹和Fenwick樹

• 線段樹：用於有效率地回答陣列上的範圍查詢。
• 芬威克樹：一種更簡單、節省空間的樹，用於累積頻率表。

5. 樹遍歷技術

穿過一棵樹，就像拜訪了公司的每一位員工。你如何做很重要：

5.1 深度優先搜尋（DFS）

• 預購：訪問根，然後向左，然後向右。非常適合創建樹的副本。
• 有序：左、根、右。對於 BST 按升序獲取元素很有用。
• 後序：左、右、根。適合刪除樹（例如解僱反向層級結構中的員工）。

DFS 範例:

5.2 廣度優先搜尋（BFS）

• 層序遍歷：逐層存取節點。最短路徑問題的理想選擇。

• 使用佇列實作:
  

6. 樹演算法及其應用

6.1 BST 中的插入與刪除

• 插入：遞歸地將新節點放置在正確的位置。
• 刪除：三種情況－葉節點刪除、一個子節點和兩個子節點（替換為有序後繼節點）。

6.2 平衡樹

• 旋轉：用於 AVL 和紅黑樹以保持平衡。
  • 單次右旋（LL 旋轉）
  • 單向左旋轉（RR 旋轉）
  • 左右雙旋轉（RL 旋轉）
  • 左右雙旋轉（LR 旋轉）

6.3 最低共同祖先（LCA）問題

• 定義：找出作為兩個給定節點的祖先的最低節點。
• 技術：遞歸檢查目前節點對於兩個給定節點是否是公共的。

LCA 程式碼範例:

7. 樹的記憶排列

樹通常使用以下方式在記憶體中表示：

• 基於節點的動態表示：每個節點都是一個帶有指向其子節點的指標（引用）的物件。
• 陣列表示：用於完全二元樹，其中左子節點位於 2*i 1 ，右子節點位於 2*i 2 （0 索引）。

視覺表現：

8. 辨識樹相關問題

你怎麼知道樹什麼時候是適合這項工作的工具？尋找這些跡象：

• 分層資料：家譜、組織架構圖。
• 快速尋找：自動完成、拼字檢查。
• 範圍查詢：某範圍內的總和或最小值。
• 親子關係：任何涉及需要追溯到根源的關係的問題。

9. 解決樹木問題的提示和技巧

• 遞歸思維：大多數樹問題具有固有的遞歸性質。想想如何解決左右子樹的問題並進行建構。
• 視覺化：始終繪製樹，即使您直接編碼。它有助於找出邊緣情況。
• 邊緣情況：注意只有一個節點、所有左節點或所有右節點的樹。不要忘記空節點！
• 平衡樹：如果您需要一致的快速效能，請確保您的樹保持平衡（使用 AVL 或紅黑樹）。

10. 樹在現實世界的應用

• 資料庫：用於索引的 B 樹和變體（例如 B 樹）。
• 編譯器：用於解析的抽象語法樹（AST）。
• AI：機器學習演算法的決策樹。
• 網路：用於路由器和尋路的生成樹。

11. 常見樹面試問題

1. 二元樹最大路徑和
2. 對稱樹檢查
3. 序列化與反序列化二元樹
4. 二元樹的直徑
5. 檢查樹是否平衡

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結論

掌握樹就是擁抱遞歸、了解類型並透過問題練習。一旦你開始將樹木不僅視為資料結構，而且視為需要平衡和照顧的生物體，你就會開始欣賞它們的力量。請記住，了解自己的樹木的開發人員總是比其他人更勝一籌！

快樂編碼（和攀登）！ ?

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