素數減法運算

2601。素數減法運算

難度：中

主題：陣列、數學、二分查找、貪婪、數論

給你一個0索引長度為n的整數數組nums。

您可以執行以下操作：

• 選擇一個你之前沒有選擇過的索引 i，然後選擇一個質數 p 嚴格小於 nums[i]，然後從 nums[i] 中減去 p。

如果可以使用上述操作使 nums 成為嚴格遞增的數組，則傳回 true，否則傳回 false.

嚴格遞增數組 是一個數組，其每個元素都嚴格大於其前一個元素。

範例1：

• 輸入： nums = [4,9,6,10]
• 輸出： true
• 解釋： 第一個操作：選取 i = 0 和 p = 3，然後將 nums[0] 減去 3，使 nums 變為 [1,9,6,10]。
  • 第二個操作：i = 1，p = 7，nums[1]減7，所以nums等於[1,2,6,10]。
  • 第二次運算後，nums 依照嚴格升序排序，所以答案是 true。

範例2：

• 輸入： nums = [6,8,11,12]
• 輸出： true
• 說明： 最初 nums 是嚴格按照遞增順序排序的，所以我們不需要進行任何操作。

範例 3：

• 輸入： nums = [5,8,3]
• 輸出： false
• 解釋：可以證明，沒有辦法進行操作使nums嚴格按升序排序，所以答案是錯誤的。

約束：

• 1
• 1
• nums.length == n

提示：

1. 考慮一下我們是否有很多質數需要從 nums[i] 中減去。哪個質數更優化？
2. 從 nums[i] 中減去的最佳質數是使 nums[i] 盡可能最小且大於 nums[i-1] 的質數。

解：

我們需要分解演算法並使其適應 PHP 語法和功能。解決方案主要包括以下步驟：

1. 生成素數（埃拉托斯特尼篩法）：產生所有素數的列表，最大可能值是 nums (1000)。
2. 素數減法操作：對於nums中的每個數字，檢查是否可以減去一個素數以使數組嚴格遞增。
3. 二分查找素數：使用二分查找來找出小於目前數字的最大質數，並且仍保持序列嚴格遞增。

讓我們用 PHP 實作這個解：2601。素數減法運算

<?php class Solution {

    /**
     * @param Integer[] $nums
     * @return Boolean
     */
    function primeSubOperation($nums) {
       ...
       ...
       ...
       /**
        * go to ./solution.php
        */
    }

    /**
     * Helper function to generate all primes up to n using Sieve of Eratosthenes
     *
     * @param $n
     * @return array
     */
    private function sieveEratosthenes($n) {
       ...
       ...
       ...
       /**
        * go to ./solution.php
        */
    }

    /**
     * Helper function to find the largest prime less than a given limit using binary search
     *
     * @param $primes
     * @param $limit
     * @return mixed|null
     */
    private function findLargestPrimeLessThan($primes, $limit) {
       ...
       ...
       ...
       /**
        * go to ./solution.php
        */
    }
}

// Example usage:
$solution = new Solution();
echo $solution->primeSubOperation([4, 9, 6, 10]) ? 'true' : 'false';  // Output: true
echo $solution->primeSubOperation([6, 8, 11, 12]) ? 'true' : 'false'; // Output: true
echo $solution->primeSubOperation([5, 8, 3]) ? 'true' : 'false';      // Output: false
?>

解釋：

1. primeSubOperation：循環遍歷 nums 中的每個元素，並檢查是否可以透過減去適當的素數來使每個元素大於前一個元素。

   • 我們使用 $this->findLargestPrimeLessThan 來找出小於 num - prevNum 的最大質數。
   • 如果存在這樣的質數，我們從目前的 num 中減去它。
   • 如果減去素數後，目前 num 不大於 prevNum，我們回傳 false。
   • 否則，我們將 prevNum 更新為目前 num。

2. sieveEratosthenes：使用埃拉托斯特尼篩法產生 1000 以內的所有素數，並將它們作為數組傳回。

3. findLargestPrimeLessThan：使用二分搜尋找出小於給定限制的最大質數，確保我們找到用於減法的最佳質數。

複雜性分析

• 時間複雜度：O(n . √m)，其中n是nums和m的長度是nums 中元素的最大值（這裡m = 1000）。
• 空間複雜度：O(m)，用於儲存最多1000個素數列表。

該解決方案將根據是否可以透過執行所描述的素數減法操作使 nums 嚴格增加來傳回 true 或 false。

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