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計算大指數的(a^b)%MOD

電腦程式設計中，計算(a^b)%MOD 的問題當我們需要將數字「a」提高到大指數「b」（以固定常數「MOD」為模）求餘數時，就會出現這種情況。這是各種密碼應用和數學計算中的常見任務。

Log(b) 時間複雜度方法

解決此問題的一個簡單方法是使用內建的在C 中的pow() 函數中，它使用乘法演算法計算a 的b 次方。但是，當 'b' 很大時，此方法會變得低效，因為它需要 O(b) 時間。

歐拉定理

更有效的方法涉及使用歐拉定理，它指出對於任何整數“a”和素數模“p”，a^p mod p = a^(p-1) mod p。透過擴展，可以使用歐拉 totient 函數 φ(MOD) 將其推廣到任何正整數 'MOD'。

歐拉 Totient 函數

歐拉 totient 函數計算數字小於「MOD」且與「MOD」互質的正整數。使用'MOD'的素因式分解可以有效計算。

計算大指數的(a^b)%MOD

結合歐拉定理和歐拉totient函數，我們可以有效率地計算大指數的(a^ b)%MOD。

1. 計算總函數 φ(MOD)。
2. 計算(a ^ φ(MOD)% MOD).
3. 計算(a ^ (b % φ(MOD)) %MOD).

這種方法將時間複雜度降低到O(log(φ(MOD)) ）並且可以處理不適合「long long」資料類型的指數。

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