如何在Python中實現尾呼叫遞歸來高效求和？

Python 中的遞歸：理解指南

用於對整數列表求和的遞歸函數

讓我們假設我們需要創建一個名為的遞歸函數“listSum”計算列表中所有整數的總和。目標是在不使用任何內建函數的情況下完成此操作。首先，我們應該考慮如何用函數本身來表示函數的結果。

在這種情況下，我們可以透過將第一個數字與呼叫相同函數的結果相加來獲得結果清單中的其餘元素。遞歸地，這可以表示為：

listSum([1, 3, 4, 5, 6]) = 1 + listSum([3, 4, 5, 6])
                         = 1 + (3 + listSum([4, 5, 6]))
                         = 1 + (3 + (4 + listSum([5, 6])))
                         = 1 + (3 + (4 + (5 + listSum([6]))))
                         = 1 + (3 + (4 + (5 + (6 + listSum([])))))

遞歸的基本情況是當列表變空時，一個事件需要結果為 0。在 Python 程式碼中實作此方法：

<code class="python">def listSum(ls):
    if not ls:
        return 0
    return ls[0] + listSum(ls[1:])</code>

尾呼叫遞歸

先前的實作依賴先前函數呼叫的值來計算實際結果。這可以使用尾調用遞歸來改進：

<code class="python">def listSum(ls, result):
    if not ls:
        return result
    return listSum(ls[1:], result + ls[0])</code>

透過引入額外的參數結果，我們在其中累積總和，並在滿足基本條件時返回它。

傳遞索引

為了避免建立多個中間列表，我們可以傳遞要處理的項目的索引：

<code class="python">def listSum(ls, index, result):
    if index == len(ls):
        return result
    return listSum(ls, index + 1, result + ls[index])</code>

基本條件檢查索引是否已達到列表的長度。

內部函數版本

為了簡化參數傳遞，我們可以使用內部函數：

<code class="python">def listSum(ls):
    def recursion(index, result):
        if index == len(ls):
            return result
        return recursion(index + 1, result + ls[index])
    return recursion(0, 0)</code>

內部函數遞歸接受索引和結果參數，listSum 傳回使用初始值呼叫內部函數的結果。

預設參數版本

使用預設參數是進一步的簡化：

<code class="python">def listSum(ls, index=0, result=0):
    if index == len(ls):
        return result
    return listSum(ls, index + 1, result + ls[index])</code>

預設值分配給索引和如果呼叫者未明確指定，則結果。

遞歸冪問題

考慮計算冪（底數，指數）的問題，它會傳回底數的指數次方的值。遞歸地，我們可以定義解：

power(2, 5) = 2 * power(2, 4)
            = 2 * (2 * power(2, 3))
            = 2 * (2 * (2 * power(2, 2)))
            = 2 * (2 * (2 * (2 * power(2, 1))))

底數條件是指數變成1 或更小時，此時結果就是底數本身：

            = 2 * (2 * (2 * (2 * 2)))
            = 2 * (2 * (2 * 4))
            = 2 * (2 * 8)
            = 2 * 16
            = 32

Python 中的實現:

<code class="python">def power(base, exponent):
    if exponent <= 1:
        return base
    return base * power(base, exponent - 1)</code>

使用尾呼叫最佳化版本的預設參數:

<code class="python">def power(base, exponent, result=1):
    if exponent <= 0:
        return result
    return power(base, exponent - 1, result * base)</code>

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