石頭遊戲II

1140。石頭遊戲II

難度：中

主題：陣列、數學、動態規劃、前綴和、賽局理論

愛麗絲和鮑伯繼續玩石頭堆遊戲。 有若干堆排成一排，每堆有正整數個石子piles[i]。 遊戲的目標是以最多的石子結束。

愛麗絲和鮑伯輪流，愛麗絲先開始。 最初，M = 1。

在每個玩家的回合中，該玩家可以拿走前 X 剩餘堆中的所有石子，其中 1

遊戲繼續進行，直到所有棋子都被拿走。

假設 Alice 和 Bob 發揮最佳，返回Alice 可以獲得的最大石頭數量。

範例1：

• 輸入： 樁 = [2,7,9,4,4]
• 輸出： 10
• 解釋：如果Alice一開始拿了一堆，Bob拿了兩堆，然後Alice又拿了2堆。愛麗絲總共可以得到 2 + 4 + 4 = 10 堆。如果愛麗絲一開始拿了兩堆，那麼鮑伯就可以拿走剩下的三堆。在這種情況下，愛麗絲總共得到 2 + 7 = 9 堆。所以我們回傳 10，因為它更大。

範例2：

• 輸入： 樁 = [1,2,3,4,5,100]
• 輸出： 104

約束：

• 1
• 1 4

提示：

1. 使用動態規劃：對於給定 m 的piles[i:] 的答案，狀態為 (i, m)。

解：

我們需要使用動態規劃來找到如果兩個玩家都發揮最佳狀態，Alice 可以獲得的最大石頭數量。以下是開發解決方案的逐步方法：

1. 定義狀態與轉換：

   • 定義一個 2D DP 數組，其中 dp[i][m] 表示 Alice 從第 i 堆開始可以收集的最大石頭，最大拾取限制為 m。
   • 使用前綴和陣列來有效計算子數組中石頭的總和。

2. 基本案例：

   • 如果沒有剩餘的石頭可供採摘，則得分為 0。

3. 遞迴案例：

   • 對於每一堆 i 和最大允許拾取 m，透過考慮所有可能的移動（取 1 到 2m 堆）來計算 Alice 可以收集的最大石頭。

4. 轉換函數：

   • 對於愛麗絲可以挑選的每個可能的堆數，計算愛麗絲可以獲得的石頭總數，並使用未來狀態的結果來決定最佳移動。

讓我們用 PHP 實作這個解：1140。石頭遊戲II

<?php
// Example usage
$solution = new Solution();
$piles1 = [2, 7, 9, 4, 4];
$piles2 = [1, 2, 3, 4, 5, 100];
echo $solution->stoneGameII($piles1) . "\n"; // Output: 10
echo $solution->stoneGameII($piles2) . "\n"; // Output: 104
?>

解釋：

1. 前綴總和計算：這有助於快速計算任一堆 i 到 j 中的石子總和。
2. DP 陣列初始化： dp[i][m] 儲存 Alice 從 i 堆開始可以取得的最大石子，最大拾取限制為 m。
3. 動態程式轉換：對於每堆和 m，透過迭代她可以獲得的可能堆數並相應更新 DP 數組來計算 Alice 可以收集的最大石頭。

這種方法確保了解決方案的高效計算，利用動態規劃來避免冗餘計算。

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