簡單理解貝塞爾曲線。

想像一下，如果只能用直線、橢圓、圓，設計一輛線條流暢、外觀複雜的汽車不是很困難嗎？

1962年，法國工程師Pierre Bézier發表了貝塞爾曲線，最初用於汽車主體設計。

貝塞爾曲線可以透過一系列控制點定義一條平滑的曲線。曲線總是經過第一個和最後一個控制點，並受中間控制點形狀的影響。此外，貝塞爾曲線具有凸包的性質。

貝塞爾曲線廣泛應用於電腦圖形和圖像建模，例如動畫、字體設計和工業設計。

公式

讓我們來了解一下。

P(t) 表示曲線上 t 處的點（t 是分數，值從 0 到 1）。 t 處曲線上的點是什麼？常見的曲線描述是：y = f(x)，現在讓我們將 P(t) 理解為 f(x)。不同的是，P(t)是參數表示（計算結果是[x,y]這樣的「向量」），後面會詳細解釋。

接下來，Pi代表第i個控制點（i從0開始）。以上圖為例，有4個控制點，分別是P0、P1、P2、P3。公式中的n是控制點的最後一個索引，即n = 3（注意不是控制點的數量，而是計數減1）。

Bi,n(t) 是 Bernstein 基底函數，也稱為基底函數。對於每個特定的(i,n)，都有一個不同的基底函數與之對應。如果從加權的角度來理解，可以將基底函數視為權重函數，表示第i個控制點Pi對t位置的曲線座標的「貢獻」。

基底函數的公式如下：

$(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{i}ni$二項式{n}{i} (

in ） 是組合數（從n中選擇i有多少種方法？）。至於為什麼基底函數是這樣的，可以結合De Casteljau演算法來理解（見文中後面）

回到P(t)公式， ${\Sigma }_{i=\mathrm{🎜>}n}^{}$ΣΣΣΣΣΣΣΣΣ ${}_{n}n{}_{}為求和符號，表示後續部分($Bi,i,(t)⋅P⋅P〕 B_{i,n}(t) cdot P_iB

B

i,n

() ⋅

P

iiiiiiii ) 將從 i=0 到 i=n 求和。 以上圖為例，假設我們要計算P(0.1)，該怎麼做呢？展開如下： 代入 t=0.1 得到： 曲線的參數表示 這裡直接引用了網友的文章（連結） 讓我們專注於上面的公式。 如上圖所示，我們熟悉的直線可以從另一個角度來理解：用t（即|AP|從點P到已知點(x0,y0)的長度），那麼透過上面的三角函數就可以確定P點。 更一般地，可以寫成： 這裡，P0 是向量 [x0,y0]，v 也是向量。加在一起後，P(t) 就是向量 [x,y]。 再看一下圓圈： 如圖所示，圓可以看作有一個已知的圓心，圓上的任一點都由旋轉角度和半徑決定。也可以寫成： 參數方程式保持幾何不變性，並且可以表示圓形等形狀（其中一個 x 對應多個 y 值）。 德卡斯特里奧 De Casteljau 演算法是一種在實際應用中用於評估和近似 Bézier 曲線以進行繪圖和其他操作的方法。相較於先前基於定義的評估方法，速度更快、更穩定，更接近貝塞爾曲線的特性。 這裡，我們參考了兩篇文章：link1 和 link2

先定義以下內容：

看上面的β。上標和下標有點混亂；你可以用下面的三角遞歸來理解：

上圖三角形的紅邊是除以t0的兩條線段的控制點。為了更形象化地理解t0，P(t0)（即 ${\beta }_0^{(0(0}$(()beta_0^{(n)} βββ

β

β

β
2. β

0

(n)${}_{\mathrm{}}^{}$ ），兩條曲線的控制點，可以參考下圖：

上圖展示了當t=0.5時各點之間的關係。

從「插值」的角度來看，計算過程也可以理解為：

求每對相鄰控制點的中點（因為t=0.5），即b01,b11,b21（請原諒我的記法，用LaTeX寫太麻煩了）

在 b01−b11 上求中點 b02，在 b11-b21 上求中點 b12

求 b02−b12 上的中點 b03 號 其實De Casteljau演算法的本質就是插值和迭代。

基於 De Casteljau 的曲線繪製 目前觀察到兩種方法。 一種方法涉及以小步增量將 t 從 0 遍歷到 1（即0.01）。每次求 P(t) 時，都會使用遞歸公式來決定 β0(0(0((()beta_0^{(n)} βββββββ0(n) . 另一種方法是求P(t=0.5)，然後對於兩條分割曲線，分別求P(t=0.5)...這樣的細分一直持續到曲線逼近為止。 執行 光看而不練習總覺得不真實。 所以我自己寫了曲線繪製的實作程式碼，整理成工具包：Compilelife的Toolkit 對應的核心程式碼在這裡

以上是簡單理解貝塞爾曲線。的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！