在算法中mod是什么意思？

在算法中，mod的意思是取模，就是取余数。mod运算，即求余运算，是在整数运算中求一个整数x除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商。

mod运算，即求余运算，是在整数运算中求一个整数 x 除以另一个整数y的余数的运算，且不考虑运算的商。在计算机程序设计中都有MOD运算，其格式为： mod(nExp1,nExp2)，即是两个数值表达式作除法运算后的余数。

模p运算编辑

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式

n = kp + r 其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则 (a+b) mod p = r。

模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。

可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：

结合律	((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p ((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p
交换律	(a + b) mod p = (b+a) mod p (a × b) mod p = (b × a) mod p
分配律	((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p (a×b) mod c=(a mod c * b mod c) mod c (a+b) mod c=(a mod c+ b mod c) mod c (a-b) mod c=(a mod c- b mod c) mod c

简单的证明其中第一个公式：

((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p

假设

a = k1*p + r1

b = k2*p + r2

c = k3*p + r3

a+b = (k1 + k2) p + (r1 + r2)

如果(r1 + r2) >= p ，则

(a+b) mod p = (r1 + r2) -p

否则

(a+b) mod p = (r1 + r2)

再和c进行模p和运算，得到

结果为 r1 + r2 + r3 的算术和除以p的余数。

对右侧进行计算可以得到同样的结果，得证。

模p相等

如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做

a ≡ b (mod p)

可以证明，此时a、b满足 a = kp + b，其中k是某个整数。

对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同的规则。在四则运算中，如果c是一个非0整数，则

ac = bc 可以得出 a =b

但是在模p运算中，这种关系不存在，例如：

(3 x 3) mod 9 = 0

(6 x 3) mod 9 = 0

但是

3 mod 9 = 3

6 mod 9 =6

定理（消去律）：如果gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ (b mod p)

证明：

因为ac ≡ bc (mod p)

所以ac = bc + kp，也就是c(a-b) = kp

因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个

1) c能整除k

2) a = b

如果2不成立，则c|kp

因为c和p没有公因子，因此显然c|k，所以k = ck'

因此c(a-b)=kp可以表示为c(a-b) =ck'p

因此a-b = k'p，得出a ≡ b (mod p)

如果a = b，则a ≡ b mod p 显然成立

得证

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