首先在这里介绍下Algorithms这个网站第二部分,是Algorithms这本书的在线课程。
另外Coursera上的图上的算法的这个课程也很不错。
图的几种表示方法:
用那种方式(数据结构)表示图,这包含以下两个要求:(1) 空间要合适 (2)实例的方法的实现一定要快
那么有三种可供选择:
(1)边的集合,如下:
简单但是不满足第二个条件——要实现邻接表adj()要遍历图中所有的边。
(2)邻接矩阵:
使用一个V乘V的布尔举证,空间上是不满足的。
(3)邻接列表:
使用一个顶点为索引的数组列表,其中的每个元素都是和该顶点相邻的顶点列表。
由于采用如上方式具有比较好的灵活性,采用邻接列表来表示的话,可以定义如下数据结构来表示一个Graph对象。
public class Graph {private readonly int verticals;//顶点个数private int edges;//边的个数private List<int>[] adjacency;//顶点联接列表public Graph(int vertical) {this.verticals = vertical;this.edges = 0; adjacency=new List<int>[vertical];for (int v = 0; v < vertical; v++) { adjacency[v]=new List<int>(); } }public int GetVerticals () {return verticals; }public int GetEdges() {return edges; }public void AddEdge(int verticalStart, int verticalEnd) { adjacency[verticalStart].Add(verticalEnd); adjacency[verticalEnd].Add(verticalStart); edges++; }public List<int> GetAdjacency(int vetical) {return adjacency[vetical]; } }
在谈论深度优先算法之前,我们可以先看看迷宫探索问题。下面是一个迷宫和图之间的对应关系:
迷宫中的每一个交会点代表图中的一个顶点,每一条通道对应一个边。
迷宫探索可以采用Trémaux绳索探索法。即:
在身后放一个绳子
访问到的每一个地方放一个绳索标记访问到的交会点和通道
当遇到已经访问过的地方,沿着绳索回退到之前没有访问过的地方:
图示如下:
下面是迷宫探索的一个小动画:
深度优先搜索算法模拟迷宫探索。在实际的图处理算法中,我们通常将图的表示和图的处理逻辑分开来。所以算法的整体设计模式如下:
创建一个Graph对象
将Graph对象传给图算法处理对象,如一个Paths对象
然后查询处理后的结果来获取信息
我们可以看到,递归调用dfs方法,维护了一个marked[]标记数组,在调用之前判断该节点是否已经被访问过。
深度优先算法描述:在访问一个顶点时
1.将它标记为已经访问;
2.递归的访问它的所有没有被标记过的邻居顶点。
public class DepthFirstSearch {private bool[] marked;//记录顶点是否被标记private int count;//记录查找次数private DepthFirstSearch(Graph g, int v) { marked = new bool[g.GetVerticals()]; dfs(g, v); }private void dfs(Graph g, int v) { marked[v] = true; count++;foreach (int vertical in g.GetAdjacency(v)) {if (!marked[vertical]) dfs(g,vertical); } }public bool IsMarked(int vertical) {return marked[vertical]; }public int Count() {return count; } }
试验一个算法最简单的办法是找一个简单的例子来实现。
算法应用:
连通性。给定一幅图,回答“两个给定顶点是否连通?” 或者 “图中有多少个连通子图?”
寻找路径。给定一幅图和一个起点,回答“从s到给定目的顶点v是否存在一条路径?如果有,找出这条路径。”
检测环。给定的图是无环图吗?
双色问题。能够用两种颜色将图的所有顶点着色,使得任意一条边连个顶点的颜色都不相同?这个问题等价于:这是一个二分图吗?
有了这个基础,我们可以实现基于深度优先的路径查询,要实现路径查询,我们必须定义一个变量来记录所探索到的路径。
所以在上面的基础上定义一个edgesTo变量来后向记录所有到s的顶点的记录,和仅记录从当前节点到起始节点不同,我们记录图中的每一个节点到开始节点的路径。为了完成这一日任务,通过设置edgesTo[w]=v,我们记录从v到w的边,换句话说,v-w是做后一条从s到达w的边。 edgesTo[]其实是一个指向其父节点的树。
注意代码只是在前面算法的基础上维护了一个edgTo数组,并用栈Stack保存路径。
public class DepthFirstPaths {private bool[] marked;//记录是否被dfs访问过 private int[] edgesTo;//记录最后一个到当前节点的顶点private int s;//搜索的起始点public DepthFirstPaths(Graph g, int s) { marked = new bool[g.GetVerticals()]; edgesTo = new int[g.GetVerticals()];this.s = s; dfs(g, s); }private void dfs(Graph g, int v) { marked[v] = true;foreach (int w in g.GetAdjacency(v)) {if (!marked[w]) { edgesTo[w] = v;dfs(g,w); } } }public bool HasPathTo(int v) {return marked[v]; }public Stack<int> PathTo(int v){if (!HasPathTo(v)) return null; Stack<int> path = new Stack<int>();for (int x = v; x!=s; x=edgesTo[x]) { path.Push(x); } path.Push(s);return path; } }
上图中是黑色线条表示 深度优先搜索中,所有定点到原点0的路径, 他是通过edgeTo[]这个变量记录的,可以从右边可以看出,
他其实是一颗树,树根即是原点,每个子节点到树根的路径即是从原点到该子节点的路径。
下图是深度优先搜索算法的一个简单例子的追踪。
连通分量
API如下:
CC的实现使用了marked[ ]数组来寻找一个顶点作为每个连通分量中深度优先搜索的起点。递归的深搜第一次调用的参数是顶点0,会标记所有与0连通的顶点。然后构造函数中的for循环会查找每个没有被标记的顶点并递归调用dfs来标记和它相邻的所有顶点。另外,它还使用了一个以顶点作为索引的数组id[ ],将同一个连通分量中的顶点和连通分量的标识符关联起来。这个数组使得connected( )方法的实现变得十分简单。
public class CC {private boolean[] marked;private int[] id;private int count;public CC(Graph g){ marked = new boolean[g.getVertexCount()]; id = new int[g.getVertexCount()];for(int s = 0; s < g.getVertexCount(); s++){if(!marked[s]){ dfs(g,s); count++; } } }private void dfs(Graph g, int v) { marked[v] = true; id[v] = count;for(int w: g.adj(v))if(!marked[w]) dfs(g,w); }/** v和w连通吗*/public boolean connected(int v, int w) { return id[v] == id[w]; }/** v所在的连通分量的标识符*/public int id(int v) { return id[v]; }/** 连通分量数*/public int count() {return count;}
检测环
/** * 给定的图是无环图吗 * 检测自环:假设没有自环,没有平行边 */public class Cycle {private boolean[] marked;private boolean hasCycle;public Cycle(Graph g){ marked = new boolean[g.getVertexCount()];for(int i = 0;i<g.getVertexCount();i++)if(!marked[i]) dfs(g, i, i); }private void dfs(Graph g, int v, int u) { marked[v] = true;for(int w: g.adj(v))if(!marked[w]) dfs(g, w, v); // 若w没被标记过,那么从w继续递归深搜,把w的父节点作为第二参数else if(w != u) hasCycle = true; // 若w被标记过,那么若无环,w必然和父节点相同,否则就是有环 }/** 是否含有环*/public boolean hasCycle(){return hasCycle;}
双色问题
/** * 双色问题:能够用两种颜色将图的所有顶点着色,使得任意一条边上的两个端点的颜色都不同吗? * 等价于:判断是否是二分图的问题 */public class TwoColor {private boolean[] marked;private boolean[] color;private boolean isColorable;public TwoColor(Graph g){ isColorable = true; marked = new boolean[g.getVertexCount()]; color = new boolean[g.getVertexCount()];for(int i = 0; i<g.getVertexCount(); i++)//遍历所有顶点if(!marked[i]) dfs(g, i);//没有mark就进行深搜 }private void dfs(Graph g, int v) { marked[v] = true; // 标记for(int w: g.adj(v)) // 对邻接表进行遍历if(!marked[w]){ // 如果没有被标记color[w] = !color[v]; // 当前w节点颜色置为和父节点不同的颜色dfs(g, w); // 对当前节点继续深搜}else if(color[w] == color[v]){ // 如果已经被标记,看是否颜色和父节点相同isColorable = false; // 若相同则不是二分图 } }/** 是否是二分图*/public boolean isBipartite(){return isColorable;}
通常我们更关注的是一类单源最短路径的问题,那就是给定一个图和一个源S,是否存在一条从s到给定定点v的路径,如果存在,找出最短的那条(这里最短定义为边的条数最小)
深度优先算法是将未被访问的节点放到一个堆中(stack),虽然在上面的代码中没有明确在代码中写stack,但是 递归间接的利用递归堆实现了这一原理。
和深度优先算法不同, 广度优先是将所有未被访问的节点放到了队列中。其主要原理是:
先将起点加入队列,然后重复一下步骤直到队列为空:
1.取队列中的下一个顶点V并标记它
2.将与v相邻的所有未被标记过的顶点加入队列
广度优先是以距离递增的方式来搜索路径的。
class BreadthFirstSearch {private bool[] marked;private int[] edgeTo;private int sourceVetical;//Source verticalpublic BreadthFirstSearch(Graph g, int s) { marked=new bool[g.GetVerticals()]; edgeTo=new int[g.GetVerticals()];this.sourceVetical = s; bfs(g, s); }private void bfs(Graph g, int s) { Queue<int> queue = new Queue<int>(); marked[s] = true; queue.Enqueue(s);while (queue.Count()!=0) {int v = queue.Dequeue();foreach (int w in g.GetAdjacency(v)) {if (!marked[w]) { edgeTo[w] = v; marked[w] = true; queue.Enqueue(w); } } } }public bool HasPathTo(int v) {return marked[v]; }public Stack<int> PathTo(int v) {if (!HasPathTo(v)) return null; Stack<int> path = new Stack<int>();for (int x = v; x!=sourceVetical; x=edgeTo[x]) { path.Push(x); } path.Push(sourceVetical);return path; } }
算法应用:最短路径问题
总结:
深度优先搜索和广度优先搜索都是将起点存入数据结构中,然后重复一下步骤直到数据结构被清空:
1.取其中的下一个顶点并标记它
2.将v的所有相邻而未被标记的顶点加入数据结构
这两个算法 的不同之处仅在于从数据结构中获取下一个顶点的规则(广度优先来说是最早加入的顶点,对于深度优先搜索来说是最晚加入的顶点)。
Atas ialah kandungan terperinci 详解深度优先和广度优先算法实例. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!