Apakah sebabnya integral ganda ∫∫ydσ = 0 dalam koordinat kutub?

Bukti pintar integral ganda ∬ydσ = 0 di bawah koordinat polar dan analisis ralat biasa

Artikel ini menganalisis soalan mengenai integral berganda di bawah koordinat kutub dan menjelaskan mengapa hasil integral adalah sifar dan kesilapan biasa dalam proses pengiraan. Dalam soalan, rantau integral adalah rantau berbentuk jantung yang diterangkan oleh persamaan koordinat polar r = ½ (⅓) sinθ, dan fungsi bersepadu adalah f (x, y) = y.

Penyelesaian cepat menggunakan simetri:

Kuncinya adalah untuk memerhatikan simetri fungsi bersepadu dan rantau integral. Fungsi integraved y adalah fungsi ganjil mengenai paksi-y, iaitu f (x, -y) = -f (x, y). Sementara itu, rantau berbentuk jantung adalah simetri mengenai paksi-x. Ini bermakna bahawa untuk mana-mana titik (x, y) di kawasan itu, titik (x, -y) juga berada di kawasan tersebut. Oleh itu, nilai-nilai integral pada bahagian atas dan bawah paksi x adalah sama dengan saiz dan bertentangan dengan simbol, dan hasil akhir dibatalkan antara satu sama lain, dan hasil integral berganda adalah sifar:

∬ _σ y dσ = 0

Ekspresi matematik yang lebih ketat:

∬ σ f (x, y) dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0 (kerana ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0)

Kesalahan biasa dan penyelesaian yang betul:

Ramai pelajar cuba menggunakan transformasi koordinat polar untuk mengira secara langsung, tetapi kesilapan terdedah kepada berlaku. Langkah integrasi koordinat kutub yang betul adalah seperti berikut:

∬ _σ y dσ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓) sinθ} (r sinθ) * r dr dθ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓) sinθ} r² sinθ dr dθ

Kesalahan biasanya berlaku selepas integral r, dan integral θ dikira. Sesetengah pelajar akan mengira ∫ ₀ ^2π (½ (⅓) sinθ) dθ, mengabaikan integral istilah malar ½, atau tersilap percaya bahawa ∫ ₀ ^2π sinθ dθ tidak sama dengan sifar.

Langkah pengiraan yang betul:

1. Lapisan dalaman integral (untuk r integral):

∫ ₀ ^{½ (⅓) sinθ} r² sinθ dr = [⅓r³ sinθ] ₀ ^{½ (⅓) sinθ} = ⅓ (½ (⅓) sinθ) ³ sinθ

2. Integrasi luar (integrasi untuk θ):

∫ ₀ ^2π ⅓ (½ (⅓) sinθ) ³ sinθ dθ

Walaupun integral ini kelihatan rumit, kerana hasil integral sinθ pada [0, 2π] adalah 0, dan (½ (⅓) sinθ) ³ adalah fungsi ganjil tentang sinθ, hasil akhir masih 0.

Ringkasan: Menggunakan simetri, kita dapat dengan cepat menentukan bahawa hasil integral berganda adalah sifar, mengelakkan pengiraan kompleks. Sekiranya perlu untuk mengira melalui integral polar, integral lapisan dalaman dan luaran perlu dikira dengan teliti untuk mengelakkan kesilapan pengiraan biasa. Ingat, analisis simetri adalah alat yang berkuasa untuk menyelesaikan masalah yang penting.

Atas ialah kandungan terperinci Apakah sebabnya integral ganda ∫∫ydσ = 0 dalam koordinat kutub?. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!