Apakah eigenvector dan eigenvalue?

Algebra linear adalah asas kepada matematik maju dan penting dalam bidang seperti sains data, pembelajaran mesin, penglihatan komputer, dan kejuruteraan. Eigenvectors, sering dipasangkan dengan nilai eigen, adalah konsep teras. Artikel ini memberikan penjelasan yang jelas tentang vektor eigen dan kepentingannya.

Jadual Kandungan:

• Apakah vektor eigen?
• Memahami eigenvectors secara intuitif
• Kepentingan vektor eigen
• Mengira eigenvectors
• Eigenvectors dalam Amalan: Contohnya
• Pelaksanaan Python
• Visualisasikan eigenvectors
• Ringkasan
• Soalan yang sering ditanya

Apakah vektor eigen?

Eigenvector adalah vektor khas yang berkaitan dengan matriks persegi. Apabila matriks mengubah vektor eigen, arah eigenvector tetap tidak berubah; Hanya skala yang diubah oleh nilai skalar yang disebut nilai eigen.

Secara matematik, untuk matriks persegi A , vektor bukan sifar V adalah eigenvector jika:

Di mana:

• A adalah matriks.
• V ialah eigenvector.
• λ (lambda) adalah nilai eigen (skalar).

Memahami eigenvectors secara intuitif

Pertimbangkan matriks A mewakili transformasi linear (contohnya, regangan, berputar, atau skala ruang 2D). Memohon transformasi ini ke vektor V :

• Kebanyakan vektor akan mengubah kedua -dua arah dan magnitud.
• Walau bagaimanapun, sesetengah vektor hanya berubah dalam skala (magnitud), bukan arah. Ini adalah vektor eigen.

Contohnya:

• λ> 1: Eigenvector diregangkan.
• 0
• λ = 0: Eigenvector dipetakan ke vektor sifar.
• λ

Kepentingan vektor eigen

Eigenvectors sangat penting dalam pelbagai aplikasi:

1. Analisis Komponen Utama (PCA): Digunakan untuk pengurangan dimensi, eigenvectors menentukan komponen utama, menangkap varians maksimum dan mengenal pasti ciri -ciri utama.
2. Pagerank Google: Algoritma menggunakan eigenvectors matriks pautan untuk menentukan kepentingan laman web.
3. Mekanik kuantum: Eigenvectors dan nilai eigen menggambarkan keadaan sistem dan sifat -sifat yang boleh diukur (contohnya, tahap tenaga).
4. Visi Komputer: Digunakan dalam Pengiktirafan Muka (misalnya, Eigenfaces) untuk mewakili imej sebagai kombinasi linear ciri -ciri utama.
5. Analisis getaran (kejuruteraan): Eigenvectors menggambarkan mod getaran dalam struktur (jambatan, bangunan).

Mengira eigenvectors

Untuk mencari eigenvectors:

1. Persamaan Eigenvalue: Mulakan dengan av = λ V , ditulis semula sebagai ( a - λ i ) v = 0, di mana saya adalah matriks identiti.
2. Selesaikan nilai eigen: hitung det ( a - λ i ) = 0 untuk mencari nilai eigen λ.
3. Cari eigenvectors: Gantikan setiap eigenvalue λ ke ( a - λ i ) v = 0 dan selesaikan untuk v .

Eigenvectors dalam Amalan: Contohnya

Diberi matriks:

1. Cari nilai eigen λ: menyelesaikan det ( a - λ i ) = 0.
2. Cari eigenvectors: Gantikan setiap λ ke ( a - λ i ) v = 0 dan selesaikan v .

Pelaksanaan Python

Menggunakan Numpy:

 import numpy sebagai np

A = np.Array ([[2, 1], [1, 2]])
Nilai eigen, eigenvectors = np.linalg.eig (a)
Cetak ("Nilai Eigen:", Nilai Eigen)
Cetak ("Eigenvectors:", Eigenvectors)

Visualisasikan eigenvectors

Matplotlib dapat memvisualisasikan bagaimana eigenvectors transform. (Kod yang ditinggalkan untuk keringkasan, tetapi kod asal memberikan contoh yang baik).

Ringkasan

Eigenvectors adalah konsep algebra linear penting dengan aplikasi yang luas. Mereka mendedahkan bagaimana transformasi matriks mempengaruhi arah tertentu, menjadikannya penting dalam pelbagai bidang. Perpustakaan Python memudahkan pengiraan dan visualisasi eigenvector.

Soalan yang sering ditanya

• Q1: Nilai Eigen vs Eigenvectors? Nilai eigen adalah skalar yang menunjukkan faktor skala vektor eigen semasa transformasi; Eigenvectors adalah vektor yang arahnya tidak berubah.
• S2: Adakah semua matriks mempunyai vektor eigen? Tidak, hanya matriks persegi boleh memilikinya, dan beberapa matriks persegi mungkin tidak mempunyai set lengkap.
• S3: Adakah eigenvectors unik? Tidak, mana -mana skalar pelbagai vektor eigen juga merupakan eigenvector.
• S4: Eigenvectors dalam Pembelajaran Mesin? Digunakan dalam PCA untuk pengurangan dimensi.
• S5: Bagaimana jika nilai eigen adalah sifar? Eigenvector yang sepadan dipetakan ke vektor sifar, sering menunjukkan matriks tunggal.

Atas ialah kandungan terperinci Apakah eigenvector dan eigenvalue?. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!