N-S 방정식 문제가 해결되었나요? 리만 가설과 병치된 밀레니엄 수학 퍼즐이 승리를 눈앞에 두고 있습니다.

이것은 수학에서 가장 유명한 미해결 문제 중 하나입니다. 새 작업은 동료 검토를 거쳤으며 전체 텍스트를 사용할 수 있습니다.

유체역학이 초전도 시대를 열고 있나요?

최근 수학계에서는 나비에-스토크스 문제의 정규 해밀턴 공식이 마침내 등장했다는 사실이 활발하게 논의되고 있습니다. 수학 역사상 풀리지 않았던 이 문제에 답이 있을지도 모릅니다. 과거에는 이것이 일반적으로 불가능한 것으로 간주되기도 했습니다.

이것이 얼마나 중요합니까? 나비에-스토크스 방정식은 리만 가설과 마찬가지로 2000년 "7천년 수학 문제" 중 하나로 선정되었습니다.

세계 수준의 7가지 문제는 NP-완전 문제, Hodge 추측, Poincaré 추측, Riemann 가설, Yang-Mills 존재와 질량 격차, Navier-Stokes 방정식, BSD 추측입니다. 7개 문제 각각의 상금은 미화 100만 달러입니다. 20년이 넘는 기간 동안 러시아의 재능 있는 수학자 페렐만은 "푸앵카레 추측"만을 풀었습니다.

대부분은 익숙하지만 그중에서도 "Navier-Stokes 방정식"(N-S 방정식)은 덜 언급되는 것 같습니다. 그 이유는 이 문제가 너무 이해하기 어렵기 때문일 수 있습니다(대학에서 "유체역학" 과정을 수강한 학생들은 분명히 아이디어를 갖고 있을 것입니다). 어떤 사람들은 이것이 수학 역사상 가장 복잡한 공식이라고 믿기도 합니다.

간단히 말하면, 18세기 수학자 오일러는 비점성 유체가 움직일 때 유체가 겪는 힘과 운동량의 변화를 바탕으로 "유체 운동의 일반 원리"에서 일련의 방정식을 도출했습니다.

오일러 방정식의 설명은 이상적인 세계에서 유체 운동을 규정하지만 실제 유체 내부에는 마찰이 있습니다. 자연계의 유체는 점성을 띠고 있어 총칭하여 점성유체 또는 실제유체라고 합니다. 예를 들어, 꿀을 저으면 점성 효과를 느끼게 되는데, 항공기의 비행 저항 역시 공기의 점성에서 크게 좌우됩니다.

실제 유체의 점성으로 인해 유체 운동에 대한 연구는 매우 복잡해집니다.

19세기 프랑스의 엔지니어이자 물리학자인 Claude-Louis Navit와 아일랜드의 물리학자이자 수학자인 George Stokes는 의 기본 방정식을 고려하여 유체 평형과 운동을 확립하고 데카르트 좌표계의 운동 구성 요소 형태를 설명합니다. .

이것이 후세대에서 Navier-Stokes 방정식이라고 불리는 것입니다. 역사상 가장 무서운 편미분 방정식 중 하나입니다.

^{나비에-스토크스 방정식은 액체나 공기와 같은 유체 물질을 설명하는 데 사용됩니다. 이러한 방정식은 유체의 입자 운동량이 변화하는 속도(힘)와 압력의 변화, 소산 점성력(마찰과 유사), 유체 내부에 작용하는 중력 사이의 관계를 설정합니다. 이러한 점성력은 분자의 상호작용으로 인해 발생하며 액체의 점성이 얼마나 되는지 알려줍니다. 이러한 방식으로 Navier-Stokes 방정식은 액체의 특정 영역에 작용하는 힘의 동적 균형을 설명합니다.}

이는 많은 엔지니어링 문제에 매우 중요합니다.

나비에-스토크스 문제에 대한 세계적인 해결책이 있다면 항공우주, 로켓 엔진, 날씨 예측, 파이프라인 운송 및 의료 혈류를 포함하되 이에 국한되지 않는 유체 역학과 관련된 많은 기술에 획기적인 발전이 있을 것입니다. 건설. 모듈 등.

이 방정식 세트의 어려운 점은 수학 이론을 사용하여 이를 어떻게 설명할 것인가입니다. 이국적인 블랙홀을 설명하는 아인슈타인의 장 방정식을 설명하는 수학적 이론조차도 나비에-스토크스 방정식을 공식화하는 것보다 간단합니다.

사람들이 언급한 중요한 혁신은 4월 1일 유체역학 분야 최고 저널인 "Journal of Fluid Mechanics"에 게재된 "나비에르-스토크스 문제의 표준 해밀턴 공식"이라는 논문에서 나온 것입니다.

^{논문 링크: https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/canonical-hamiltonian-formulation-of-the-navierstokes-problem/B3EB9389AE700867A6A3EA63A45E69C6}

본 논문은 최소제곱 원리에서 파생된 최소작용 원리를 바탕으로 등방성 나비에-스토크스 문제에 대한 새로운 해밀턴 공식을 제안합니다. 이 공식은 속도 및 압력 을 변수 필드 수량으로 사용하고 분석에서 파생된 표준 공액 운동량도 사용합니다. 이를 바탕으로 본 연구에서는 해밀턴 정준방정식을 만족하는 보존된 해밀턴 함수 H*를 구축하고, 압축성 및 비압축성 흐름에 대한 관련 해밀턴-야코비안 방정식을 공식화한다. 이 해밀턴-야코비안 방정식은 4개의 독립적인 필드 양을 찾는 문제를 이들 필드 중에서 단일 스칼라 함수를 찾는 것으로 줄입니다 - 해밀턴의 주요 함수 또한 해밀턴과 야코비안의 변환 이론은 나비에-스토크스 문제를 풀기 위한 규정된 방법을 제공합니다. 문제: S*를 찾으세요.

S*의 분석적 표현을 얻을 수 있다면 표준 변환을 통해 새로운 필드 세트를 얻게 되며, 원래 속도 및 압력 필드의 분석적 표현은 단순히 초기 필드와 동일해집니다. 값. 이것이 실패하면 해밀턴-야코비 방정식에 대한 완전한 해가 존재하거나 존재하지 않는다는 것만 증명할 수 있으며, 이는 해의 존재 문제도 해결할 수 있습니다.

이 새로운 연구에 백만 달러의 상금이 있나요? 승리하려면 연구자들은 3차원 비압축성 Navier-Stokes 방정식에 대한 해가 있다는 것과 해가 있다면 그 해는 매끄럽다는 것을 보여야 합니다.

수학자 테렌스 타오는 한때 이것이 어렵다고 생각했습니다.

현재 진행 상황으로 볼 때, 새로운 연구를 통해 미해결 문제를 더 쉽게 해결할 수 있었고, 우리는 큰 진전을 이루었습니다. 나비에-스토크스 방정식의 정규 해밀턴 공식을 실현했다는 것은 우리가 표준 라그랑지안의 한계를 극복하고 단일 스칼라 함수를 찾는 문제를 줄일 수 있습니다.

아마도 밀레니엄 퍼즐의 두 번째 문제 해결이 멀지 않았습니다. ㅋㅋㅋ //zhuanlan.zhihu.com/p/263628141

https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/

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