중첩 샘플링 알고리즘의 기본 원리와 구현 과정을 살펴보세요.

중첩 샘플링 알고리즘은 복잡한 확률 분포에서 적분 또는 합을 계산하는 데 사용되는 효율적인 베이지안 통계 추론 알고리즘입니다. 이는 매개변수 공간을 동일한 볼륨의 여러 하이퍼큐브로 분해하고, 가장 작은 볼륨의 하이퍼큐브 중 하나를 점진적으로 반복적으로 "밀어낸" 다음 하이퍼큐브를 무작위 샘플로 채워 확률 분포의 적분 값을 더 잘 추정하는 방식으로 작동합니다. 중첩 샘플링 알고리즘은 지속적인 반복을 통해 고정밀 적분값과 매개변수 공간의 경계를 얻을 수 있으며, 이는 모델 비교, 매개변수 추정, 모델 선택 등 통계 문제에 적용할 수 있습니다. 이 알고리즘의 핵심 아이디어는 복잡한 적분 문제를 일련의 단순 적분 문제로 변환하고, 매개변수 공간의 부피를 점진적으로 줄여 진정한 적분 값에 접근하는 것입니다. 각 반복 단계에서는 무작위 샘플링을 통해 매개변수 공간에서 샘플을 얻고 샘플의 확률 밀도 함수에 따라 가중 계산을 수행하여 적분 값의 추정치를 얻습니다. 중첩 샘플링 알고리즘의 장점은 다양하고 복잡한 확률 분포를 처리할 수 있으며 계산 효율성과 정확성 측면에서 좋은 성능을 갖는다는 것입니다.

중첩 샘플링 알고리즘은 원래 Skilling이 2004년에 제안한 것입니다. 천문학, 통계, 물리학, 생물학 및 기타 분야의 데이터 분석 및 모델 비교에 널리 사용됩니다. 아래에서는 간단한 예를 통해 중첩 샘플링 알고리즘의 기본 아이디어와 구현 과정을 소개합니다.

정규 분포의 확률 밀도 함수 p(x)가 있고 전체 실수 구간에 대한 적분 값, 즉 ∫p(x)dx를 풀고 싶다고 가정합니다. 정규분포의 성질에 따르면, p(x)의 적분값은 1이라는 것을 알 수 있습니다. 이 속성을 확인하기 위해 중첩 샘플링 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 알고리즘의 기본 아이디어는 정규 분포에서 무작위로 샘플링하고 샘플링 포인트의 가중 합산을 수행하여 적분 값을 근사화하는 것입니다. 샘플링과 가중합산 과정을 반복하면 정규분포의 성질을 검증할 수 있을 만큼 1에 가까운 적분값을 얻을 수 있다.

먼저 매개변수 공간 [-무한대, 무한대]를 동일한 부피의 여러 하이퍼큐브 V_i로 분해합니다. 각 하이퍼큐브의 부피는 ΔV = 1/N입니다. 여기서 N은 하이퍼큐브의 수입니다. x_i를 사용하여 i번째 하이퍼큐브의 무작위 샘플을 나타낸 다음 p(x_i) 값을 계산합니다. 각 하이퍼큐브가 채워질 수 있도록 하려면 하나의 하이퍼큐브에서 일부 샘플을 무작위로 샘플링하고 이러한 샘플을 다른 하이퍼큐브에 채워야 합니다. 이렇게 하면 각 하이퍼큐브가 채워지고 확률 밀도 함수에 대한 보다 정확한 추정치를 얻을 수 있습니다.

그런 다음 확률 밀도 함수 값이 가장 작은 하이퍼큐브 V_{text{min}}를 선택해야 합니다. 이 프로세스를 구현하려면 V_{text{min}}에서 확률 밀도 함수 값이 가장 작은 샘플을 제거해야 합니다. 즉, V_{text{min}에서 x_i에서 확률 밀도 함수 값이 가장 작은 샘플을 모두 제거해야 합니다. }}. 이 과정에서 V_{text{min}}의 볼륨과 최소 확률 밀도 함수 값을 기록하고 이를 다음 반복의 참조 값으로 사용해야 합니다.

모든 하이퍼큐브가 "밀려나올" 때까지 위 프로세스를 반복합니다. 이 시점에서 완전한 확률 밀도 함수 추정값과 적분 값의 근사치를 얻을 수 있습니다. 구체적인 구현 과정은 다음과 같습니다.

import numpy as np

def log_likelihood(x):
"""定义概率密度函数"""
return -0.5 * x ** 2

def nested_sampling(N, log_likelihood):
"""嵌套采样算法实现"""
log_X = -np.inf
logL = [log_likelihood(np.random.randn()) for i in range(N)]
for i in range(N):
# 找到最小的概率密度函数值的样本
idx = np.argmin(logL)
logL[idx] = np.inf
# 计算当前的体积和概率密度函数值
log_X_new = logL[idx] - np.log(N - i)
logL_new = log_likelihood(np.random.randn())
# 更新 X 和 logL
log_X = np.logaddexp(log_X,log_X_new)
logL[idx] = logL_new
# 返回结果
return log_X, log_X - np.log(N)

그 중 N은 하이퍼큐브의 수를 나타내고, log_likelihood는 확률 밀도 함수의 로그 값, log_X는 로그 적분 값의 근사값, logL은 하이퍼큐브의 로그 값을 나타냅니다. 각 하이퍼큐브의 최소 확률 밀도 함수 값인 np.logaddexp는 숫자 언더플로 또는 오버플로를 방지하는 데 사용되는 로그 추가 함수입니다.

위 코드에서는 먼저 정규분포의 확률밀도함수 log_likelihood를 정의한 후, Nested_sampling 함수를 통해 중첩 샘플링 알고리즘을 구현했습니다. 이 함수에서는 먼저 log_X 값을 음의 무한대로 초기화한 다음 루프를 N 번 반복하여 확률 밀도 함수 값이 가장 작은 샘플을 찾고 현재 볼륨과 확률 밀도 함수 값을 계산하고 값을 업데이트합니다. log_X 및 logL, 그리고 최종 결과를 반환합니다.

위 코드에서는 적분 값을 직접 계산하지 않고 로그 값 log_X를 계산했다는 점에 유의해야 합니다. 이는 실제 계산에서는 확률 밀도 함수의 값이 일반적으로 매우 작기 때문입니다. 숫자 언더플로 또는 오버플로가 발생합니다. 따라서 우리는 일반적으로 로그 값을 사용하여 적분을 계산합니다. 이는 수치 문제를 피하고 확률 밀도 함수의 곱과 적분을 더 잘 처리할 수 있게 해줍니다.

중첩 샘플링 알고리즘은 복잡한 확률 분포에서 적분 또는 합을 계산하는 데 사용할 수 있는 매우 효과적인 통계 추론 알고리즘입니다. 주요 아이디어는 매개변수 공간을 동일한 부피의 여러 하이퍼큐브로 분해한 다음 하이퍼큐브를 무작위로 샘플링하고 "밀어내는" 방식으로 지속적으로 반복하여 매개변수 공간의 고정밀 적분 값과 경계를 얻는 것입니다. 중첩 샘플링 알고리즘은 천문학, 통계, 물리학, 생물학 및 기타 분야의 데이터 분석 및 모델 비교에 널리 사용됩니다.

위 내용은 중첩 샘플링 알고리즘의 기본 원리와 구현 과정을 살펴보세요.의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!