방향성 가중치 그래프에서 정확히 k개의 간선을 포함하는 최단 경로를 찾습니다.

조정 가중치 그래프에서 정확히 k개의 모서리를 갖는 최단 경로를 찾는 문제에는 정확히 k개의 모서리를 탐색하면서 가장 작은 가중치를 갖는 경로를 결정하는 것이 포함됩니다. 이는 가능한 모든 방법으로 최소한의 가중치를 저장하기 위해 3D 프레임워크를 사용하는 등 동적 프로그래밍 전략을 사용하여 달성됩니다. 정점과 가장자리에서 계산이 반복되어 각 단계에서 최소 가중치를 조정합니다. 정확히 k개의 간선을 갖는 가능한 모든 방법을 고려함으로써 계산은 그래프에서 k개의 간선을 갖는 가장 제한된 방법을 구별할 수 있습니다.

사용방법

• 순진한 재귀적 방법

• 가장자리 제약 조건이 있는 Dijkstra의 알고리즘

순진한 재귀적 방법

순진한 재귀적 방법은 복잡한 문제를 더 작은 하위 문제로 분해하고 재귀적으로 해결하는 방식으로 문제 해결을 위한 중요하고 명확한 전략이 될 수 있습니다. 이 접근 방식에서 작업은 기본 사례에 도달할 때까지 하위 문제를 탐색하기 위해 자체를 여러 번 호출합니다. 그럼에도 불구하고, 이중 계산 및 하위 문제 커버로 인해 더 큰 문제의 경우 낭비가 될 수 있습니다. 메모리나 에너지 프로그래밍과 같은 최적화 방법이 필요합니다. 속기 쉬운 재귀 방법은 얻고 구현하기 쉽지만 기하급수적인 시간 복잡성으로 인해 어려움을 겪을 수 있습니다. 소규모 문제를 해결하거나 보다 최적의 계산을 위한 출발점으로 사용되는 경우가 많습니다.

알고리즘

• 그래프, 소스 정점 u, 대상 정점 v 및 모서리 수 k를 입력으로 사용하는 작업 최단 경로(그래프, u, v, k)를 나타냅니다.

• 기본 상황 확인:

• 아. k와 u가 v와 짝수이면 반환합니다(이 경우 모서리가 허용되지 않으므로).

• 두번째. k가 1이고 그래프에서 u와 v 사이에 간선이 있으면 해당 가중치가 반환됩니다.

• c. k가 0보다 작거나 같으면 무한히 반환합니다(음수 또는 0 가장자리는 허용되지 않으므로).

• 최단 경로 거리를 저장하려면 무한 변수 res를 초기화하세요.

• 그래프는 다음과 같이 모든 정점에 대해 반복되어야 합니다.

• 아. 당신과 내가 u 또는 v로 상승하지 않으면 u에서 i로의 가장자리가 존재합니다.

• shortestPath를 재귀적으로 호출합니다. 여기서 i는 최신 소스 정점이고, v는 대상 정점이고, k−1은 나머지 가장자리 수입니다.

• 반환된 결과가 무한이 아닌 경우 res는 res의 최소값과 현재 에지 및 재귀 결과의 가중치로 업그레이드됩니다.

• k개 모서리를 정확하게 분리하는 가장 제한된 방법으로 res 값을 반환합니다.

예

으아악

출력

으아악

가장자리 제약 조건이 있는 Dijkstra의 알고리즘

Dijkstra의 가장자리 제약 조건 알고리즘은 소스 정점과 그래프의 다른 모든 정점 사이의 최단 경로를 식별하는 그래프 순회 계산입니다. 가장 큰 또는 가장 작은 가장자리 가중치와 같은 그래프 가장자리의 제한이나 제약 조건을 고려합니다. 계산에서는 필요한 꼭지점 선을 유지하고 제거할 가장 적은 꼭지점을 반복적으로 선택합니다. 이 시점에서 더 짧은 경로가 발견되면 인접한 정점 사이의 거리를 늘려 인접한 정점을 완화합니다. 이 준비는 모든 정점을 방문할 때까지 계속됩니다. 가장자리 명령을 사용하는 Dijkstra의 알고리즘은 선택한 방법이 가장 제한된 방법을 찾는 동시에 필요한 가장자리 제약 조건을 충족하도록 보장합니다

알고리즘

• 다익스트라의 작품을 만들려면 다음 매개변수를 사용하세요

• 그래프: 정점과 가장자리가 있는 입력 그래프

  출처: 가장 제한된 경로의 시작 정점

  제약: 가장자리의 제한 또는 장애물

  사라진 정점 세트와 정점과 거리를 저장하는 수요선을 초기화합니다.

• 삭제 클러스터를 생성하고 0으로 설정된 소스 정점을 제외한 모든 정점에 대해 삭제를 종료 가능성으로 설정합니다.

• 소스 정점을 거리에 따라 원하는 행으로 배열합니다.

• 수요 파이프라인을 제거할 수 없는 동안 다음을 수행하십시오.

• 원하는 대기열에서 제거 횟수가 가장 적은 정점을 대기열에서 제거합니다.

• 지금 정점을 더 이상 방문하지 않으면

• 방문한 것으로 표시하세요.

• 현대 정점의 인접한 각 정점에 대해:

• 가장자리 장벽을 적용하여 가장자리를 고려할 수 있는지 확인하세요.

• 가장자리 가중치와 제약 조건을 고려하여 정점을 공급하는 것부터 인접한 정점까지 사용되지 않은 거리를 계산합니다.

• 현재 구분 기호가 최신 구분 기호보다 짧은 경우 구분 기호 배열을 개선하세요.

• 사용하지 않은 거리를 사용하여 인접한 정점을 원하는 행에 대기열에 넣습니다.

• 모든 정점에 도달한 후 별도의 클러스터에는 공급 정점에서 가장자리 제약 조건을 충족하는 각 정점까지의 최대 짧은 거리가 포함됩니다.

• 개별 클러스터를 결과로 반환합니다.

示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>

struct Edge {
    int destination;
    int weight;
};

void dijkstra(const std::vector<std::vector<Edge>>& graph, int source, std::vector<int>& distance) {
    int numVertices = graph.size();
    std::vector<bool> visited(numVertices, false);
    distance.resize(numVertices, std::numeric_limits<int>::max());
    distance[source] = 0;

    for (int i = 0; i < numVertices - 1; ++i) {
        int minDistance = std::numeric_limits<int>::max();
        int minVertex = -1;

        for (int v = 0; v < numVertices; ++v) {
            if (!visited[v] && distance[v] < minDistance) {
                minDistance = distance[v];
                minVertex = v;
            }
        }

        if (minVertex == -1)
            break;

        visited[minVertex] = true;

        for (const auto& edge : graph[minVertex]) {
            int destination = edge.destination;
            int weight = edge.weight;

            if (!visited[destination] && distance[minVertex] != std::numeric_limits<int>::max() &&
                distance[minVertex] + weight < distance[destination]) {
                distance[destination] = distance[minVertex] + weight;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int numVertices = 4;
    int source = 0;
    std::vector<std::vector<Edge>> graph(numVertices);

    // Add edges to the graph (destination, weight)
    graph[0] = {{1, 10}, {2, 3}};
    graph[1] = {{2, 1}, {3, 7}};
    graph[2] = {{3, 6}};

    std::vector<int> distance;
    dijkstra(graph, source, distance);

    // Print the shortest distances from the source vertex
    std::cout << "Shortest distances from vertex " << source << ":\n";
    for (int i = 0; i < numVertices; ++i) {
        std::cout << "Vertex " << i << ": " << distance[i] << '\n';
    }

    return 0;
}

输出

Shortest distances from vertex 0:
Vertex 0: 0
Vertex 1: 10
Vertex 2: 3
Vertex 3: 9

结论

本文概述了两个重要的计算，以帮助理解协调和加权图表中的大多数问题。它阐明了易受骗的递归方法和带有边缘限制的 Dijkstra 计算。轻信递归方法包括递归地研究具有精确 k 个边的所有可能的方式，以发现最有限的方式。 Dijkstra 的边命令式计算采用了所需的线和面积规则，成功地找出了图表中从供给顶点到所有不同顶点的最大受限方式。本文包含了计算的具体说明，并给出了测试代码来说明其用法.

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