Python의 EM 알고리즘은 무엇입니까?

Python의 EM 알고리즘은 최대 우도 추정을 기반으로 하는 반복 방법으로, 비지도 학습의 매개변수 추정 문제에 일반적으로 사용됩니다. 이 기사에서는 EM 알고리즘의 정의, 기본 원칙, 애플리케이션 시나리오 및 Python 구현을 소개합니다.

1. EM 알고리즘의 정의

EM 알고리즘은 Expectation-Maximization Algorithm의 약어입니다. 관찰된 데이터를 바탕으로 최대 우도 추정치를 해결하도록 설계된 반복 알고리즘입니다.

EM 알고리즘에서는 표본 데이터가 특정 확률 분포에서 나온다고 가정해야 하며, 분포의 매개변수는 알 수 없으며 EM 알고리즘을 통해 추정해야 합니다. EM 알고리즘은 알려지지 않은 매개변수가 두 가지 범주, 즉 하나는 관찰 가능한 변수이고 다른 하나는 관찰 불가능한 변수로 나눌 수 있다고 가정합니다. 반복을 통해 관찰 불가능한 변수의 기대값을 모수의 추정값으로 사용한 후 수렴할 때까지 다시 해를 푼다.

2. EM 알고리즘의 기본 원리

1. E 단계(Expectation)

E 단계에서는 현재 매개변수 추정값을 기반으로 숨겨진 변수의 확률 분포를 계산해야 합니다. 각 숨겨진 변수의 조건 분포, 즉 숨겨진 변수의 기대값입니다. 이 기대값은 현재 매개변수 추정치를 기반으로 계산됩니다.

2. M스텝(최대화)

M스텝에서는 E스텝에서 계산된 히든변수의 기대값을 바탕으로 현재 파라미터 값을 재추정해야 합니다. 이 추정치는 E단계에서 계산된 잠재변수의 기대값을 기반으로 계산됩니다.

3. 매개변수 값 업데이트 ​​

E 단계와 M 단계의 반복을 통해 결국 매개변수 추정값 세트를 얻게 됩니다. 추정값이 수렴하면 알고리즘이 종료되고, 그렇지 않으면 반복이 계속됩니다. 각 반복은 최적의 모수 추정치를 찾을 때까지 모수 값을 최적화합니다.

3. EM 알고리즘의 적용 시나리오

EM 알고리즘은 군집 분석, 모델 선택, 은닉 마르코프 모델 등 비지도 학습 분야에서 널리 사용됩니다. 강력한 견고성과 높은 반복 효율성이라는 장점이 있습니다.

예를 들어 클러스터링 문제에서 EM 알고리즘은 가우스 혼합 모델의 매개변수 추정에 사용될 수 있습니다. 즉, 관찰된 데이터 분포를 여러 가우스 분포의 혼합 모델로 모델링하고 샘플을 그룹화하여 데이터가 각 그룹은 동일한 확률 분포를 따릅니다. EM 알고리즘에서는 E 단계에서 데이터를 그룹화하고 M 단계에서 가우스 분포의 매개변수를 업데이트하여 문제를 해결합니다.

또한 이미지 처리에서 EM 알고리즘은 이미지 분할 및 이미지 노이즈 제거와 같은 작업에 자주 사용됩니다.

4. Python은 EM 알고리즘을 구현합니다

Python에는 SciPy 라이브러리의 EM 알고리즘 구현, scikit-learn 라이브러리의 Gaussian 혼합 모델 GMM과 같이 매개변수 추정을 위해 EM 알고리즘을 사용할 수 있는 많은 함수가 있습니다. 및 TensorFlow 라이브러리 등이 있습니다.

다음은 SciPy 라이브러리의 EM 알고리즘 구현을 예로 들어 소개합니다. 먼저 다음과 같이 Pyhton에서 가져와야 합니다.

import scipy.stats as st
import numpy as np

그런 다음 가우스 혼합 모델의 확률 밀도 함수를 EM 알고리즘의 최적화 목적 함수로 정의합니다.

def gmm_pdf(data, weights, means, covs):
    n_samples, n_features = data.shape
    pdf = np.zeros((n_samples,))
    for i in range(len(weights)):
        pdf += weights[i]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[i], cov=covs[i])
    return pdf

다음으로 EM 알고리즘의 함수를 정의합니다.

def EM(data, n_components, max_iter):
    n_samples, n_features = data.shape
    weights = np.ones((n_components,))/n_components
    means = data[np.random.choice(n_samples, n_components, replace=False)]
    covs = [np.eye(n_features) for _ in range(n_components)]

    for i in range(max_iter):
        # E步骤
        probabilities = np.zeros((n_samples, n_components))
        for j in range(n_components):
            probabilities[:,j] = weights[j]*st.multivariate_normal.pdf(data, mean=means[j], cov=covs[j])
        probabilities = (probabilities.T/probabilities.sum(axis=1)).T

        # M步骤
        weights = probabilities.mean(axis=0)
        means = np.dot(probabilities.T, data)/probabilities.sum(axis=0)[:,np.newaxis]
        for j in range(n_components):
            diff = data - means[j]
            covs[j] = np.dot(probabilities[:,j]*diff.T, diff)/probabilities[:,j].sum()

    return weights, means, covs

마지막으로 다음 코드를 사용하여 EM 알고리즘을 테스트합니다.

# 生成数据
np.random.seed(1234)
n_samples = 100
x1 = np.random.multivariate_normal([0,0], [[1,0],[0,1]], int(n_samples/2))
x2 = np.random.multivariate_normal([3,5], [[1,0],[0,2]], int(n_samples/2))
data = np.vstack((x1,x2))

# 运行EM算法
weights, means, covs = EM(data, 2, 100)

# 输出结果
print('weights:', weights)
print('means:', means)
print('covs:', covs)

참고 자료:

[1] Xu, R. & Wunsch, D. C. (2005) Survey of Clustering Algorithms on Neural. Networks, 16(3), 645-678.

[2] Blei, D. M., Ng, A. Y., & Jordan, M. I. (2003) Journal of Machine Learning Research, 3(4-5), 993. -1022.

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