AI는 다시 한 번 수학 세계에 참여하고 새로운 DSP 방법은 기계 증명의 성공률을 두 배로 늘립니다.

수학적 정리를 자동으로 증명하는 것은 인공지능의 본래 의도이며 항상 문제가 되어 왔습니다. 지금까지 인간 수학자들은 수학을 작성하는 데 두 가지 다른 방법을 사용했습니다.

첫 번째 방법은 모두에게 익숙한 방법으로, 자연어를 사용하여 수학적 증명을 기술하는 것입니다. 수학 교과서, 수학 논문 등 대부분의 수학은 이런 방식으로 작성됩니다.

두 번째 유형은 형식수학이라고 합니다. 이것은 수학적 증명을 확인하기 위해 지난 반세기 동안 컴퓨터 과학자들이 만든 도구입니다.

요즘 컴퓨터를 사용하여 수학적 증명을 검증할 수 있는 것처럼 보이지만 수학자가 사용하는 수학적 표기법과 문자 텍스트의 혼합을 처리할 수 없는 특별히 고안된 증명 언어를 통해서만 그렇게 할 수 있습니다. 자연어로 작성된 수학 문제를 컴퓨터가 더 쉽게 해결할 수 있도록 형식 코드로 변환하면 수학의 새로운 발견을 탐색할 수 있는 기계를 구축하는 데 도움이 될 수 있습니다. 이 과정을 형식화라고 하며, 자동 형식화는 수학을 자연어에서 형식 언어로 자동 번역하는 작업을 의미합니다.

공식 증명의 자동화는 어려운 작업이며 딥 러닝 방법은 주로 공식 데이터의 부족으로 인해 이 분야에서 아직 큰 성공을 거두지 못했습니다. 실제로 형식적인 증명 자체는 매우 어렵고 소수의 전문가만이 할 수 있기 때문에 대규모 주석 작업은 비현실적입니다. 가장 큰 형식 증명 자료는 Isabelle 코드(Paulson, 1994)로 작성되었으며 크기는 0.6GB 미만으로 비전 또는 자연어 처리에서 일반적으로 사용되는 데이터 세트보다 훨씬 작습니다. 형식 증명의 부족 문제를 해결하기 위해 이전 연구에서는 합성 데이터, 자기 지도 학습 또는 강화 학습을 사용하여 추가 형식 교육 데이터를 합성하는 것을 제안했습니다. 이러한 방법은 데이터 부족을 어느 정도 완화하지만, 수작업으로 작성된 수많은 수학적 증명을 완전히 활용할 수는 없습니다.

언어 모델 Minerva를 예로 들어보겠습니다. 충분한 데이터로 훈련한 후 우리는 수학 능력이 매우 뛰어나고 고등학교 수학 시험에서 평균보다 높은 점수를 얻을 수 있다는 것을 발견했습니다. 그러나 이러한 언어 모델에도 단점이 있습니다. 모방만 할 수 있을 뿐, 수학을 향상시키기 위해 독립적으로 훈련할 수는 없습니다. 형식 증명 시스템은 훈련 환경을 제공하지만 형식 수학에 대한 데이터는 거의 없습니다.

공식 수학과 달리 비공식 수학 데이터는 풍부하고 널리 사용 가능합니다. 최근 비공식 수학적 데이터에 대해 훈련된 대규모 언어 모델은 인상적인 정량적 추론 능력을 보여주었습니다. 그러나 종종 잘못된 증명을 생성하며 이러한 증명에서 잘못된 추론을 자동으로 감지하는 것은 어렵습니다.

최근 연구에서 Google의 Yuhuai Tony Wu와 같은 연구자들은 비공식 수학적 증명을 형식 증명의 경우 형식 증명이 제공하는 논리적 엄격함과 시스템과 대량의 비공식 데이터.

문서 링크: https://arxiv.org/pdf/2210.12283.pdf

올해 초 Wu Yuhuai와 여러 협력자들은 OpenAI Codex의 신경망을 사용하여 자동 수행을 수행했습니다. 공식화 작업을 수행하고 대규모 언어 모델을 사용하여 비공식 진술을 공식 진술로 자동 변환하는 타당성을 입증합니다. DSP는 한 단계 더 나아가 대규모 언어 모델을 사용하여 비공식 증명에서 공식 증명 스케치를 생성합니다. 증명 스케치는 대화형 정리 증명과 같은 공식 시스템으로 해석될 수 있는 높은 수준의 추론 단계로 구성됩니다. 이는 정당화되지 않은 중간 추측의 시퀀스를 포함한다는 점에서 완전한 공식 증명과 다릅니다. DSP의 마지막 단계에서는 모든 중간 추측을 증명하기 위해 자동 검증기를 사용하여 형식 증명 스케치를 완전한 형식 증명으로 정교화합니다.

Wu Yuhuai가 말했습니다: 이제 우리는 LLM이 생성한 비공식 증명을 검증된 공식 증명으로 변환할 수 있음을 보여줍니다!

방법

방법 섹션에서는 비공식 증명을 활용하여 자동화된 형식 정리 증명자를 위한 증명 스케치를 안내하는 형식 증명 자동화를 위한 DSP 접근 방식을 설명합니다. 여기서는 각 문제에 문제를 설명하는 비공식적 명제와 공식적 명제가 있다고 가정합니다. 전체 파이프라인은 세 단계로 구성됩니다(그림 1 참조).

그림 1.

비공식 증명 초안 작성

자연스러운 수학적 언어 설명을 기반으로 문제에 대한 비공식 형식을 찾는 것을 포함하는 DSP 방법의 초기 단계(아마도 LATEX을 사용하여) 증명. 결과로 나온 비공식 증명은 후속 단계의 초안으로 처리됩니다. 수학 교과서에는 일반적으로 정리의 증명이 제공되지만 때로는 누락되거나 불완전한 경우도 있습니다. 따라서 연구자들은 비공식적 증거의 유무에 해당하는 두 가지 상황을 고려했습니다.

첫 번째 경우, 연구자는 기존 수학 이론의 형식적 실천에서 전형적인 상황인 "실제" 비공식 증명(즉, 인간이 작성한 증명)이 있다고 가정합니다. 두 번째 경우, 연구자들은 실제 비공식 증거가 제공되지 않는다는 보다 일반적인 가정을 하고 비공식 수학적 데이터에 대해 훈련된 대규모 언어 모델을 사용하여 증거 후보 초안을 작성합니다. 언어 모델은 인간 증명에 대한 의존성을 제거하고 각 문제에 대한 여러 대체 솔루션을 생성할 수 있습니다. 이러한 증명의 정확성을 자동으로 확인하는 쉬운 방법은 없지만 비공식 증명은 좋은 형식 증명 스케치를 생성하는 다음 단계에서만 유용하면 됩니다.

비공식 증명을 공식 스케치로 매핑

정식 증명 스케치는 솔루션의 구조를 인코딩하고 하위 수준 세부 정보는 제쳐두세요. 직관적으로 이것은 높은 수준의 추측 진술을 개괄적으로 설명하는 부분 증명입니다. 그림 2는 교정 스케치의 구체적인 예입니다. 비공식 증명은 종종 낮은 수준의 세부 사항을 제쳐두지만, 이러한 세부 사항은 형식 증명에서 제외될 수 없으므로 비공식 증명을 형식 증명으로 직접 전환하는 것이 어렵습니다. 대신, 이 논문에서는 동일한 상위 수준 구조를 공유하는 공식 증명 스케치에 비공식 증명을 매핑하는 것을 제안합니다. 교정 스케치에서 누락된 낮은 수준의 세부 사항은 자동 교정기로 채워질 수 있습니다. 대규모 비공식-정형 병렬 말뭉치가 존재하지 않기 때문에 표준 기계 번역 방법은 이 작업에 적합하지 않습니다. 대신 여기에는 대규모 언어 모델의 퓨샷 학습 기능이 사용됩니다. 특히, 비공식 증명과 해당 공식 스케치를 포함하는 몇 가지 예제 쌍을 사용하여 모델을 유도한 다음 변환할 비공식 증명을 사용한 다음 모델이 필요한 공식 스케치를 얻기 위해 후속 토큰을 생성하도록 합니다. 이 모델을 "자동 형식화기"라고 합니다.

그림 2. 증명 스케치의 개방형 추측 여기서 "자동 증명자"는 공식적으로 검증 가능한 증명을 생성할 수 있는 시스템을 의미합니다. 프레임워크는 자동 증명의 특정 선택에 불가지론적입니다. 이는 상징적 증명(예: 휴리스틱 증명 자동화 도구), 신경망 기반 증명 또는 하이브리드 접근 방식일 수 있습니다. 자동 증명자가 증명 스케치의 모든 공백을 성공적으로 채우면 문제의 사양과 비교하여 확인할 수 있는 최종 형식 증명을 반환합니다. 자동 증명이 실패하는 경우(예: 할당된 시간 제한을 초과하는 경우) 평가는 실패한 것으로 간주됩니다.

실험

연구원들은 miniF2F 데이터 세트에서 생성된 문제에 대한 형식적 증명을 포함하여 일련의 실험을 수행했으며 이 방법을 사용하여 많은 부분의 정리가 자동으로 증명될 ​​수 있음을 보여주었습니다. 여기에서는 인간이 비공식 증명을 작성하거나 수학 텍스트에 대해 훈련된 대규모 언어 모델로 초안을 작성하는 두 가지 환경을 연구합니다. 이 두 가지 설정은 기존 이론을 형식화할 때 자주 발생하는 상황, 즉 비공식적인 증명이 있는 경우가 많지만 독자의 연습용으로 남겨두거나 여백의 제약으로 인해 누락되는 경우가 종종 있는 상황에 해당합니다.

표 1은 miniF2F 데이터 세트에서 발견된 성공적인 형식 증명의 비율을 보여줍니다. 결과에는 실험의 4가지 기준선과 사람이 작성한 증명 및 모델 생성 증명을 사용한 DSP 방법이 포함됩니다.

11개의 휴리스틱 전략이 첨부된 자동 증명은 Sledgehammer의 성능을 크게 향상시켜 miniF2F의 검증 세트에서 성공률을 9.9%에서 18.0%로 증가시키는 것을 볼 수 있습니다. , 10.4%에서 20.9%로 증가했다. 언어 모델과 증명 검색을 사용한 두 가지 기준선은 miniF2F 테스트 세트에서 각각 29.9%와 35.2%의 성공률을 달성했습니다.

인간이 작성한 비공식 증명을 기반으로 DSP 방식은 miniF2F의 검증 및 테스트 세트에서 42.6%와 39.3%의 성공률을 달성합니다. 488개 문제 중 총 200개 문제가 이런 방식으로 증명될 ​​수 있습니다. Codex 모델과 Minerva(8B) 모델은 miniF2F의 문제를 해결할 때 매우 유사한 결과를 제공했습니다. 둘 다 자동 검증기가 검증 세트와 테스트 세트의 문제 중 각각 40.6%와 35.3%를 해결하도록 안내했습니다.

미네르바(62B) 모델로 전환했을 때 성공률은 각각 43.9%, 37.7%로 높아졌습니다. 사람이 작성한 비공식 증명에 비해 성공률은 검증 세트에서는 1.3% 더 높고 테스트 세트에서는 1.6% 더 낮습니다. 전체적으로 Minerva(62B) 모델은 miniF2F에서 사람이 작성한 증명보다 1개 적은 199개의 문제를 해결할 수 있습니다. Minerva(540B) 모델은 miniF2F 검증 세트와 테스트 세트의 문제를 각각 42.6%, 38.9% 해결했으며, 199개의 성공적인 증명도 생성했습니다.

DSP 방법은 인간을 사용한 비공식 증명 또는 언어 모델에 의해 생성된 비공식 증명 두 경우 모두에서 자동 증명을 효과적으로 안내합니다. DSP는 증명자의 성공률을 거의 두 배로 높이고 Isabelle을 사용하여 miniF2F에서 SOTA 성능을 생성합니다. 또한 더 큰 Minerva 모델은 자동화된 형식 증명자를 안내하는 데 있어서 인간만큼 도움이 됩니다.

아래 그림과 같이 DSP 방식은 Sledgehammer + 휴리스틱 증명자의 성능을 크게 향상시켜(~20% -> ~40%) miniF2F에서 새로운 SOTA를 달성합니다.

Minerva의 62B 및 540B 버전은 인간 증명과 매우 유사한 증명을 생성합니다.

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