확률적 행렬

이 문서의 예에서는 무작위 행렬을 설명합니다. 참고하실 수 있도록 모두와 공유해 주세요. 자세한 내용은 다음과 같습니다.

확률행렬

        지난 한 달간 지켜봤던 내용입니다 # 🎜🎜 #Google정렬의 핵심 알고리즘---PageRank정렬 알고리즘 [1][2], 그래프 이론 및 마르코프 체인 관련 속성 설명 및 응용과 관련된 많은 논문에서 [ 3][4][5] 그리고 가장 중요한 것은 저를 항상 당황하게 했던 문장은 "A 확률론적 행렬은 주/1차 고유값 1"입니다.[3][4][5 ][6][7][8]. 아마도 행렬이론을 체계적으로 공부해 온 사람들에게는 매우 평범해서 따로 논의하거나 설명할 가치가 없을지도 모르겠습니다. 그리고 여기서 나는 나의 무지를 인정해야 한다. 고급 대수학에서 행렬의 속성에 대한 몇 가지 토론을 연구했지만, 그 속성은 물론이고 소위 확률론적 행렬(Stochastic Matrix)에 노출된 적이 없습니다. 그래서 인터넷에서 관련 문헌을 열심히 찾아보았으나, 랜덤행렬에 대한 자세한 소개나 관련 성질의 증명이 특별히 이상적이지는 않았습니다. 한편으로는 내 검색 기술이 아직 성숙하지 않았거나, 검색 키워드가 정확하지 않거나, 인터넷에 이에 대한 정보가 부족할 수도 있다고 생각합니다. 여기에서는 최근에 수집한 관련 정보를 꺼내어 향후 활용을 위해 내 아이디어를 정리하고 싶습니다. 이는 또한 내 학습에 대한 진정한 기록이자 감독이기도 합니다.

랜덤 행렬은 실제로 음이 아닌 행렬의 한 유형입니다(

Nonnegative 행렬). 음이 아닌 행렬은 행렬 요소가 모두 음이 아님을 의미합니다(#). 🎜🎜#Nonnegative#🎜 🎜#), 물론 음수가 아닌 것은 양수 행렬(Positive 행렬)과 약간 구별되어야 합니다. 음이 아닌 행렬은 계산 수학, 그래프 이론, 선형 프로그래밍, 자동 제어 및 기타 분야에서 널리 사용됩니다. 고유값, 특히 최대 고유값의 경우(여기서 최대값은 모듈의 관점이나 절대값 개념에 따른 것입니다.) ) 최대) 고유값, 즉 행렬의 주요 고유값(principal/primary eigenvalue)에 대한 추정은 큰 의미를 갖는다[9]. 랜덤행렬이 이렇게 중요한데, 랜덤행렬은 어떤 행렬인가요? 음이 아닌 행렬이 무작위로 주어지면 그것이 무작위 행렬인지 여부를 어떻게 결정합니까?

확률행렬은 실제로 행 확률행렬(

행 확률행렬

)과 열 확률행렬(

열 확률행렬으로 나누어야 합니다. ). 행 확률 행렬은 행 합이 1인 정사각 행렬이고, 열 확률 행렬은 열 합이 1인 음수가 아닌 행렬입니다. 그러면 행과 열의 합이 모두 1인 음이 아닌 행렬이 이중 확률행렬(Double stochastic mat)이고, 단위행렬은 이중 확률행렬이다. 사실 연구 관점에서 볼 때, 행 확률 행렬의 속성만 연구하면 됩니다. 결국 열 확률 행렬은 행 확률 행렬의 전치 행렬일 뿐입니다. 따라서 다음 논의는 전적으로 행 무작위 행렬을 기반으로 합니다. 랜덤 행렬 A의 행 합이 1이므로 e=(1,1,...,1)이라고 가정하면 e의 전치 벡터 e'는 행렬의 고유 벡터입니다. A의 고유값 1에 해당합니다. 이런 식으로, 확률행렬의 주요 고유값이 1이라는 것을 증명하기 위해서는 아직 일정 거리가 남아있습니다. A의 n개의 고유값이 λ(i)라고 가정합니다. 여기서 i=1,2,...,n이라는 속성이 참임을 증명하려면 |λ(i)|

그래서 관련 정보를 찾아보고 "수학 박사 포럼"에 글을 올려 조언을 구했습니다. 대략적으로 말하면 디스크 정리를 이용하면 충분하다는 답변을 받았습니다. 더 정확한 증명을 원할 경우

Perron-Frobenius Theorm

[9][10][11][12]을 활용할 수 있습니다. 새로운 개념과 방법이 속속 등장하고 수치방법과 수치계산 이론에 대한 체계적인 연구가 필요한 것 같습니다. 발견된 정보[10]는 모든 행렬의 스펙트럼 반경이 행렬의 유도된 행렬 노름보다 크지 않으며, 랜덤 행렬의

L1-Norm 값이 1임을 보여줍니다. , 그러면 스펙트럼 반경(주요 특징 값의 등가항)은 1보다 크지 않고 1은 A의 고유값이므로 절대값이 1보다 큰 고유값은 없습니다. 1이 실제로 주요 고유값입니다. 랜덤 매트릭스 A의 그러면 위 속성의 증명은 증명 데이터 [10]의 결론과 동일합니다.

사실 "모든 복잡한 장에서 행렬의 스펙트럼 반경은 유도된 표준보다 크지 않습니다"는 행렬의 기본 속성일 뿐입니다. 구체적인 증명은 아래 그림에 나와 있습니다.

          # 🎜🎜#

  위의 증명 결과를 바탕으로 모든 행 랜덤 행렬에 대해 스펙트럼이 반경은 1이며, 이는 최대 특성을 증명하기 위해 값은 1입니다.

사실 행렬이론을 체계적으로 공부하지 않은 사람들에게는 행렬의 작은 성질이 참으로 어려운 문제임을 알 수 있다. 업계에 합류하고 싶다면 규칙을 이해해야 하며, 시작하려면 해당 분야에 능숙해야 합니다.

랜덤 행렬의 주요 고유값과 두 번째로 큰 고유값의 비율은 거듭제곱법의 수렴 속도를 측정하는 기본 척도입니다. PageRank를 계산하는 방법에는 여러 가지가 있으며 이에 대한 수많은 연구가 있습니다. 물론 가장 전통적인 방법은 Power Method를 사용하여 각 웹 페이지의 PageRank#를 결정하는 것입니다. 🎜🎜# 값을 크롤링했습니다. 웹페이지의 양이 많기 때문에 전력법의 수렴속도를 고려하는 것은 중복되고 쓸모없는 분석은 아니다. 두 고유값의 "스펙트럼 갭"(Eigengap)은 주로 전력법을 사용하여 얻은 PR 값의 안정성을 측정하는 데 사용됩니다. 이러한 관점에서 고유값 분석은 PageRank 알고리즘을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.

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위 내용은 확률적 행렬의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!