극성 좌표에서 이중 적분 ∫∫ydσ = 0의 이유는 무엇입니까?

극성 좌표 및 일반

이 기사에서는 극지 좌표에서 이중 적분에 대한 질문을 분석하고 적분 결과가 계산 프로세스에서 제로 및 일반적인 오류 인 이유를 설명합니다. 문제에서, 적분 영역은 극성 좌표 방정식 r = ½ (⅓) sinθ에 의해 기술 된 심장 모양의 영역이며, 통합 함수는 f (x, y) = y이다.

대칭을 사용한 빠른 솔루션 :

열쇠는 통합 함수와 적분 영역의 대칭을 관찰하는 것입니다. 통합 된 함수 y는 y 축에 대한 홀수 함수, 즉 f (x, -y) = -f (x, y)입니다. 한편, 심장 모양의 영역은 x 축에 대해 대칭입니다. 이것은 해당 영역의 모든 지점 (x, y)에 대해 지점 (x, -y)도 해당 지역에 있음을 의미합니다. 따라서 x 축의 상부 및 하단 부분의 적분 값은 크기가 동일하고 기호의 반대이며 최종 결과는 서로 상쇄되고 이중 적분 결과는 0입니다.

∬ _σ y dσ = 0

보다 엄격한 수학적 표현 :

∬ σ f (x, y) dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0 (∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0이기 때문에)

일반적인 오류 및 올바른 솔루션 :

많은 학생들이 극지 좌표 변환을 사용하여 직접 계산하려고하지만 오류는 발생하기 쉽습니다. 올바른 극지 좌표 통합 단계는 다음과 같습니다.

∬ _σ y dσ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓) sinθ} (r sinθ) * r dr dθ = ∫ ₀ ^2π ∫ ₀ ^{½ (⅓) sinθ} r² sinθ dr dθ

오차는 일반적으로 r의 적분 후에 발생하며 θ의 적분이 계산됩니다. 일부 학생들은 실수로 ∫ ₀ ^2π (½ (⅓) sinθ) dθ를 계산하거나, 상수 용어 ½의 적분을 무시하거나, 실수로 ∫ ₀ ^2π sinθ dθ가 0과 같지 않다고 믿습니다.

올바른 계산 단계 :

1. 내부 층 적분 (R equegral 용) :

∫ ₀ ^{½ () sinθ} r² sinθ dr = [⅓r³ sinθ] ₀ ^{½ (⅓) sinθ} = ⅓ (½ (⅓) sinθ) ³ sinθ

2. 외부 통합 (θ의 통합) :

∫ ₀ ^2π π (½ (⅓) sinθ) ³ sinθ dθ

[0, 2π]의 sinθ의 적분 결과는 0이고 (½ (⅓ ⅓) sinθ) ³ ³는 sinθ에 대한 홀수 함수이기 때문에이 적분은 복잡해 보이지만, 최종 결과는 여전히 0입니다.

요약 : 대칭을 사용하여 복잡한 계산을 피하면서 이중 적분의 결과가 0임을 신속하게 결정할 수 있습니다. Polar Integral을 통해 계산 해야하는 경우 일반적인 계산 오류를 피하기 위해 내부 및 외부 층 적분을 신중하게 계산해야합니다. 대칭 분석은 적분 문제를 해결하는 강력한 도구입니다.

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