고유 벡터와 고유 값이란 무엇입니까?

선형 대수는 고급 수학의 기본이며 데이터 과학, 머신 러닝, 컴퓨터 비전 및 엔지니어링과 같은 분야에서 중요합니다. 고유 벡터는 종종 고유 값과 짝을 이루는 고유 벡터가 핵심 개념입니다. 이 기사는 고유 벡터에 대한 명확한 설명과 그 중요성을 제공합니다.

목차 :

• 고유 벡터는 무엇입니까?
• 고유 벡터를 직관적으로 이해합니다
• 고유 벡터의 중요성
• 고유 벡터 계산
• 고유 벡터 실제로 : 예
• 파이썬 구현
• 고유 벡터 시각화
• 요약
• 자주 묻는 질문

고유 벡터는 무엇입니까?

고유 벡터는 사각형 매트릭스와 관련된 특수 벡터입니다. 매트릭스가 고유 벡터를 변형시킬 때, 고유 벡터의 방향은 변하지 않습니다. 고유 값이라는 스칼라 값으로 스케일 만 변경됩니다.

수학적으로, 정사각형 매트릭스 A 의 경우, 0이 아닌 벡터 V는 다음과 같은 Eigenvector입니다.

어디:

• A 는 행렬입니다.
• v는 고유 벡터입니다.
• λ (Lambda)는 고유 값 (스칼라)입니다.

고유 벡터를 직관적으로 이해합니다

선형 변환을 나타내는 행렬 A를 고려하십시오 (예 : 2D 공간을 스트레칭, 회전 또는 스케일링). 이 변환을 벡터 V 에 적용합니다.

• 대부분의 벡터는 방향과 크기를 모두 변경합니다.
• 그러나 일부 벡터는 방향이 아닌 규모 (크기) 만 변합니다. 이들은 고유 벡터입니다.

예를 들어:

• λ> 1 : 고유 벡터가 늘어납니다.
• 0
• λ = 0 : 고유 벡터가 제로 벡터에 매핑됩니다.
• λ

고유 벡터의 중요성

고유 벡터는 다양한 응용 분야에서 매우 중요합니다.

1. PCA (Principal Component Analysis) : 차원 감소에 사용 된 Eigenvectors는 주요 구성 요소를 정의하고 최대 분산을 캡처하고 주요 기능을 식별합니다.
2. Google의 PageRank : 알고리즘은 링크 매트릭스의 고유 벡터를 사용하여 웹 페이지 중요성을 결정합니다.
3. 양자 역학 : 고유 벡터 및 고유 값은 시스템 상태 및 측정 가능한 특성 (예 : 에너지 수준)을 설명합니다.
4. 컴퓨터 비전 : 얼굴 인식 (예 : 고유 한)에 사용하여 이미지를 주요 기능의 선형 조합으로 표현합니다.
5. 진동 분석 (엔지니어링) : 고유 벡터는 구조물 (교량, 건물)의 진동 모드를 설명합니다.

고유 벡터 계산

고유 벡터를 찾으려면 :

1. 고유 값 방정식 : AV = λ V 로 시작하고 ( a -λ I ) v = 0으로 다시 작성하십시오. 여기서 I는 Identity Matrix입니다.
2. 고유 값에 대한 해결 : 고유 값 λ를 찾으려면 DET ( a -λ I ) = 0을 계산하십시오.
3. 고유 벡터를 찾으십시오. 각 고유 값 λ를 ( a -λ I ) v = 0으로 대체하고 v 를 해결하십시오.

고유 벡터 실제로 : 예

주어진 매트릭스 :

1. 고유 값을 찾으십시오 λ : det ( a -λ i ) = 0을 해결하십시오.
2. 고유 벡터 찾기 : 각 λ를 ( a -λ I ) v = 0으로 대체하고 v 를 해결하십시오.

파이썬 구현

Numpy 사용 :

 Numpy를 NP로 가져옵니다

a = np.array ([[2, 1], [1, 2]])
고유 값, 고유 벡터 = np.linalg.eig (a)
print ( "고유 값 :", 고유 값)
print ( "고유 벡터 :", 고유 벡터)

고유 벡터 시각화

matplotlib는 고유 벡터 변환 방법을 시각화 할 수 있습니다. (간결성은 코드가 생략되었지만 원래 코드는 좋은 예를 제공합니다).

요약

고유 벡터는 광범위한 응용 프로그램을 갖춘 중요한 선형 대수 개념입니다. 그들은 매트릭스 변환이 특정 방향에 어떤 영향을 미치는지 보여 주어 다양한 필드에서 필수적입니다. 파이썬 라이브러리는 고유 벡터 계산 및 시각화를 단순화합니다.

자주 묻는 질문

• Q1 : 고유 값 대 고유 벡터? 고유 값은 변형 동안 고유 벡터의 스케일링 계수를 나타내는 스칼라입니다. 고유 벡터는 방향이 변경되지 않은 벡터입니다.
• Q2 : 모든 행렬에는 고유 벡터가 있습니까? 아니요, 정사각형 행렬 만 사용할 수 있으며 일부 사각형 행렬에는 전체 세트가 부족할 수 있습니다.
• Q3 : 고유 벡터가 독특합니까? 아니요, 고유 벡터의 스칼라 배수도 고유 벡터입니다.
• Q4 : 기계 학습의 고유 벡터? 치수 감소를 위해 PCA에 사용됩니다.
• Q5 : 고유 값이 0이면 어떻게됩니까? 상응하는 고유 벡터는 제로 벡터에 매핑되어 종종 단일 행렬을 나타냅니다.

위 내용은 고유 벡터와 고유 값이란 무엇입니까?의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!