인공지능이 수학에 혁명을 일으킬 수 있는 이유

Editor | 양배추 잎

"사실이라고 의심되지만 명확한 증거가 필요한 명제인 추측을 제안하는 것은 수학자에게 신성한 영감의 순간과 같습니다. 그러나 수학적 추측은 단지 반직관적으로 존재하는 것이 아닙니다. 런던 수리과학 연구소 소장인 토마스 핑크(Thomas Fink)는 이것이 기계 지능의 가장 혁신적인 영역이라고 생각합니다.

2017년 런던 수리과학연구소 연구원들은 취미로 수학 데이터에 머신러닝을 적용하기 시작했습니다. 코로나19 팬데믹 기간 동안 그들은 간단한 인공지능(AI) 분류기가 타원 곡선의 순위, 즉 복잡성을 측정하는 방법을 예측할 수 있다는 사실을 발견했습니다.

논문 링크: https://arxiv.org/abs/2204.10140

타원 곡선은 숫자 이론의 기초입니다. 기본 통계를 이해하는 것은 7천년 문제 중 하나를 해결하는 핵심 단계입니다. 7개의 주요 퍼즐은 로드 아일랜드 프로비던스의 클레이 수학 연구소(Clay Mathematics Institute)에서 선정되었으며 각각 100만 달러의 상금이 수여됩니다. 인공지능이 이 중요한 분야에서 역할을 할 것이라고 기대하는 사람은 거의 없습니다.

인공지능은 다른 분야에서도 발전을 이루었습니다. 몇 년 전, Ramanujan Machine이라는 컴퓨터 프로그램이 π 및 e와 같은 기본 상수에 대한 새로운 공식을 생성했습니다. 연속된 분수군(분모가 숫자 + 분수인 분수, 분모가 숫자 + 분수인 분수인 분수 등)을 철저하게 검색하여 이를 수행합니다. 이러한 추측 중 일부는 입증되었지만 일부는 아직 해결되지 않았습니다.

논문 링크: https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

또 다른 예는 매듭 이론과 관련이 있는데, 이는 위상수학의 한 분야입니다. 로프는 끝이 서로 달라붙기 전에 서로 엉키게 됩니다. Google DeepMind의 연구원들은 다양한 매듭의 데이터를 사용하여 신경망을 훈련했으며 대수적 구조와 기하학적 구조 사이의 예상치 못한 관계를 발견했습니다.

논문 링크: https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

인간의 창의성이 중요시되는 수학 분야에서 인공지능이 어떻게 영향을 미칠 수 있을까요?

우선, 수학에는 우연이 없습니다. 실제 실험에서는 거짓음성(false negative)과 거짓양성(false positive)이 많이 발생합니다. 그러나 수학에서는 반례가 그 추측을 완전히 뒤집을 것이다. 예를 들어, 폴리아 추측(Polya Conjecture)은 주어진 정수 아래의 대부분의 정수는 홀수의 소인수를 갖는다고 말합니다. 그러나 1960년에 이 추측은 숫자 906,180,359에 대해서는 적용되지 않는다는 것이 밝혀졌습니다. Polya의 추측은 즉시 반증되었습니다.

둘째, 인공지능을 훈련시킬 수 있는 수학적 데이터는 저렴합니다. 소수, 매듭 및 기타 여러 유형의 수학적 개체가 풍부합니다. OEIS(Online Encyclopedia of Integer Sequences)에는 친숙한 피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)부터 강력한 Busy Beaver 수열(0, 1, 4)까지 거의 375,000개의 시퀀스가 ​​포함되어 있습니다. , 6, 13, ...), 이는 계산 가능한 어떤 함수보다 빠르게 성장합니다. 과학자들은 이미 기계 학습 도구를 사용하여 OEIS 데이터베이스를 검색하여 예상치 못한 관계를 발견하고 있습니다.

OEIS: https://oeis.org/

인공 지능은 패턴을 발견하고 추측을 공식화하는 데 도움이 될 수 있습니다. 그러나 모든 추측이 일치하는 것은 아닙니다. 수학에 대한 이해를 향상시키기 위해서도 필요합니다. G. H. Hardy는 1940년 기사 "수학자의 사과"에서 좋은 정리는 "다양한 종류의 정리를 증명하는 데 사용되는 많은 수학적 구성의 필수적인 부분이어야 한다"고 설명했습니다.

즉, 최고의 정리는 새로운 정리를 발견할 가능성을 높입니다. 새로운 수학적 영역에 도달하는 데 도움이 되는 추측은 적은 통찰력을 제공하는 추측보다 낫습니다. 그러나 이를 구별하려면 해당 분야 자체가 어떻게 발전할 것인지에 대한 직관이 필요합니다. 더 넓은 맥락에 대한 이러한 종류의 이해는 오랫동안 인공 지능의 능력을 넘어서는 것이므로 기술은 중요한 추측을 찾아내는 데 어려움을 겪을 것입니다.

이러한 잠재적인 문제에도 불구하고 수학 커뮤니티에서 AI 도구를 폭넓게 채택하면 많은 이점이 있습니다. 인공지능은 결정적인 이점을 제공하고 연구의 새로운 길을 열어줄 수 있습니다.

주류 수학 저널도 더 많은 추측을 출판해야 합니다. 페르마의 마지막 정리, 리만의 가설, 힐베르트의 23가지 문제, 라마누잔의 많은 항등과 같은 수학에서 가장 중요한 문제 중 일부는 물론 잘 알려지지 않은 수많은 추측이 장 방향의 발전을 형성했습니다. 추측은 우리를 올바른 방향으로 인도하여 연구 속도를 높입니다. 데이터나 경험적 주장으로 뒷받침되는 추측에 관한 저널 기사는 발견을 가속화할 것입니다.

2023년에는 Google DeepMind 연구원들은 220만 개의 새로운 결정 구조가 나타날 것으로 예측합니다. 그러나 이러한 잠재적인 신소재 중 얼마나 많은 것이 안정적이고 합성 가능하며 실제적으로 응용될지는 아직 알 수 없습니다. 현재 이것은 주로 재료 과학에 대한 광범위한 배경을 가진 인간 연구자들의 과제입니다.

논문 링크: https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

마찬가지로 인공지능 도구의 결과물을 이해하려면 수학자의 상상력과 직관이 필요합니다. 따라서 AI는 대체가 아닌 인간 창의성의 촉매제 역할만 할 것이다.

관련 콘텐츠: https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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