ラプラス変換とは

ラプラス変換は、時間領域関数を複素周波数領域に変換する数学的変換であり、信号処理、制御システム、微分方程式の解法で広く使用されています。これは次のように定義されます: F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt、ここで s は複素変数です。ラプラス変換には線形、微分、積分の特性があり、信号処理、制御システム、確率論などの分野で使用できます。

ラプラス変換

ラプラス変換は、関数を時間領域 (実数領域) から複素周波数領域に変換する数学的変換です。信号処理、制御システム、微分方程式の解法、確率論などの分野で広く使用されています。

定義

与えられた関数 f(t) について、そのラプラス変換を次のように定義します:

<code>F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt</code>

ここで:

• s は複素変数、s = σ + iω
• σ は実部です
• ω は虚数部です

プロパティ

ラプラス変換には次のプロパティがあります:

• 線形: 定数 a および b の場合、L{af(t) + bf(t)} = aF(s) + bF(s)
• 微分: L{f'(t)} = sF(s) - f(0)
• 積分: L{∫[0,t] f(τ) dτ} = F(s) / s
• 複素指数: L{e^(-at)} = 1/(s + a)
• 単位ステップ関数: L{u(t)} = 1/s
• 単位インパルス関数: L{ δ( t)} = 1

アプリケーション

ラプラス変換は、以下を含む多くの分野で幅広い用途があります。

• 信号処理: 信号のフィルタリング、変調、復元用。
• 制御システム: 制御システムの分析と設計用。
• 微分方程式の解き方: 微分方程式は代数方程式に変換することでより簡単に解くことができます。
• 確率理論: 確率変数の分布を解き、期待値を計算するために使用されます。

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