AI が数学研究を破壊する!フィールズ賞受賞者で中国系アメリカ人の数学者が上位 11 件の論文を主導 | テレンス・タオが「いいね！」しました

AI は確かに数学を変えています。

最近、この問題に細心の注意を払っている陶哲軒氏が、「米国数学協会会報」の最新号を送ってくれました。

「機械は数学を変えるのか？」というテーマを中心に、多くの数学者が意見を述べ、そのプロセス全体は火花に満ち、ハードコアで刺激的でした。

著者には、フィールズ賞受賞者のアクシャイ・ベンカテシュ氏、中国の数学者鄭楽軍氏、ニューヨーク大学のコンピュータ科学者アーネスト・デイビス氏、その他業界で著名な学者を含む強力な顔ぶれが揃っています。

AI の世界は劇的に変化しました。ご存知のとおり、これらの記事の多くは 1 年前に投稿されたものですが、今年中に AI は次のような変化を遂げました。多くの重要な変更。

しかし、それにもかかわらず、これらの記事は依然として金に満ちており、テレンス・タオさえ叫ばせました：この分野の進歩は速すぎます！私の未公開記事が冗長であるように見えます。

AI ツールが数学の分野を驚くべき速度で進歩させていることは誰も否定できません。

人工知能は、純粋数学を含む科学分野における情報の収集と処理の方法に革命をもたらすのでしょうか?それは数学のやり方を変えるだろうか?

数学者の意見は分かれています。研究における機械学習の普及が目前に迫っていると信じている人もいれば、懐疑的な人もいます。1960 年代とその後の過度の楽観主義を振り返ると、 AIウィンター」。

しかし、数学研究の実践では劇的な変化が起こる可能性が非常に高いです。さて、数学者はこれらの変化が引き起こす問題を検討する時が来ました。

嵐が近づいていることは疑いの余地がありません。

それでは、機械は数学を変えるのでしょうか?

数学的研究に対する数学的自動化の影響

この論文では、フィールズ賞受賞者のアクシャイ・ヴェンカテシュが数学的研究に対する自動化の影響について調査します。

論文アドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024- 01834-5/S0273-0979-2024-01834-5.pdf

この論文では、Akshay Venkatesh が興味深いアイデアを提案しました 実験 -

2017 年、DeepMind の Alphazero は、チェスと囲碁を一晩で学習し、人間を超えました。

10 年後、「Alephzero」 ( と表記) も同じ形式の数学を行ったらどうなるでしょうか?

この記事の「数学」は「純粋な数学的研究」を指します。

私たちの出発点は、「Alephzero」が高校と大学の数学を独学で学び、SpringerVerlag の数学大学院シリーズのすべての演習を完了したと仮定することです。翌朝、数学者がそれを発表し、子供たちがそれをダウンロードし、私たちのコンピューティング リソースで実行しました。

これは明らかに非現実的なため、確かに思考実験です。視野を今後 10 年または 20 年に限定することで、この思考に伴う可能性から距離を置くことができます。これを技術の進歩の結果として起こる社会的変化として考えることで、より極端なタイプの機械知能について考えることを避けることができます。そこでは、アレフゼロを生きた協力者ではなく動力ツールとしてモデル化します。

私たちは次のように自分を慰めることができます。実際、この前提は私たちからかけ離れているので、考える必要はありません。しかし、ほんのわずかな可能性さえ許せば、これは20年後に起こる可能性があります。

数学者と問題ネットワークのベイズ相互作用を通じて、私たちの価値メカニズムの一部を示す非常に大まかなモデルを提供します。ここで、「Alephzero」がこのネットワークにどのような影響を与え、結果を変えるかを検討します。

これまで見てきたように、困難の認識は、価値を構築する方法の重要な部分です。

特定の状況に関係なく、「Alephzero」は私たちの問題解決能力を変え、それによって問題の難しさに対する私たちの認識を変えます。

数学的プロセスの中で最も速く加速できる部分は、知覚される困難さを最も大きく軽減し、上記のモデルによれば、状態は最も大きな軽減を受けることになります。同様のパターンが自動化の多くのインスタンスで発生します。

最後に、「Alephzero」は数学における興味深い問題の範囲を大幅に拡張します。それはプロの数学者と他の人々との間の競争の場を平等にするでしょう。

機械が数学をより集約化する方法

論文アドレス: https://www.ams .org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01827-8/S0273-0979-2024-01827-8.pdf

## 数学者の鄭楽軍氏は、テクノロジーによって数学の勉強方法が変わったため、テクノロジーの進歩に直面して人間の数学者を不要にするのではなく、このテクノロジーを利用して数学をより「収束」させることができると信じています。

「数学を行う」とはどういうことかを考える中で、彼女は数学テクノロジーの次の側面を検討しました:教育と学習、質問、コラボレーション、コミュニケーション、研究行為。

これは厳密な分析ではなく、数学者としての彼女の経験に基づいた賢明な考察です。

Zheng Lejun 氏は、コンピューター支援の校正チェッカーや証明ジェネレーターさえもいくつか存在しますが、テクノロジーは数学研究の最も奥深く、創造的で人道的な側面に実際には侵入していないと考えています。 。

ディープクリエイティブな部分では、最初にアイデアを考えることが含まれます。定義のアイデア、証明のアイデア、数学のさまざまな部分を接続するアイデア、物事を表現する新しい方法のアイデア、アイデアなどです。記号や用語、図式的な推論のアイデア、視覚的表現のアイデア。

機械に数学的研究をさせるには、それを行うように指示する方法を見つけなければなりません。自分で行う方法がわからない場合は、私たちにとってその方法を教えるのは難しいです。

機械はある程度の証明チェックを行うことができますが、密かに数学者は完全に厳密な証明を書くことはできないことを知っています。私たちは論理に基づいて議論し、論理に裏付けられています。私たちの同僚が記入できると思われる手順。

これらのステップのサイズは定義されていないため、マシンにそれを実行するように指示するのは困難です。

数学の学生なら誰でも知っているように、証明を生成することは、単に証明をチェックすることとはまったく異なるスキルです。自分で新しい証拠を考え出すよりも、他の人の証拠に従う方がはるかに簡単です。これは、数学研究においてコンピュータが人間の数学者を決して超えることができないということではありません。

彼女の意見では、コンピューターが人間の数学者よりも優れているのは、

コンピューターは、検索によってすべての可能なアクションを検索する能力が優れているということです。考えられるすべての論理的帰結が現在わかっているので、彼らは新しい数学を考え出すことを試みることができます。

これには、想像力の飛躍、推測、直感が必要ですが、コンピューターでこれを行うには何が十分でしょうか?そのアイデアはとても興味深いですね。

#コンピュータは論理的推論に役立つのか

論文アドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01833-3/S0273-0979-2024-01833-3.pdf

コンピューターは数学研究の方法に革命をもたらし、複雑な計算を簡単に実行できるようにしました。

しかし次に、彼らは私たちの論理的推論のアシスタントになるでしょうか?彼らはいつか独立して推論できるでしょうか？

この記事では、ニューラル ネットワーク、コンピューター定理証明器、大規模言語モデルにおける最近の重要な開発について説明します。

#正式なツールは数学的研究の向上にどのように役立つか

紙のアドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01832-1/S0273-0979-2024-01832-1.pdf

20 世紀初頭以来、私たちは数学的な定義と証明が厳密な構文と規則を備えた正式なシステムを通じて表現できることを理解してきました。

これに基づいて、コンピューター証明アシスタントの開発により、数学的知識をデジタル形式でエンコードできるようになります。

この記事では、この種のテクノロジーとその関連ツールが、より優れた数学的研究にどのように役立つかを検討します。

#定理証明器を使用して数学研究における複雑な問題を単純化する

##論文アドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01831-X/S0273-0979-2024-01831-X.pdf

この記事では、インタラクティブな定理証明器を使用して、抽象的な境界を設定することで数学研究における複雑な問題を単純化する方法を検討します。

奇妙な新しい世界: LLM により、数学者はより自然な言語で証明助手とコミュニケーションできるようになります

#論文アドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01830-8/S0273-0979-2024-01830-8.pdf

証明アシスタントとして知られる現在のコンピューター プログラムは、数学的証明の正しさを検証できますが、多くの人にとっては難しい特殊な証明言語を使用しています。数学的それは家族にとっての閾値を構成します。

大規模言語モデル (LLM) には、この障壁を打ち破る可能性があり、数学者がより自然な言語で証明アシスタントとコミュニケーションできるようになります。これにより、直観力が養われるだけでなく、推論が正しいことも保証されます。

深層学習ツールを使用した純粋な数学的研究

紙のアドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01829-1/S0273-0979-2024-01829-1.pdf

#この記事は個人的な経験であり、純粋な数学者が研究で深層学習ツールを使用しようとするときに期待することを非公式に共有するものです。

AI は数学的研究を行うことができますか?

論文アドレス: https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01828-X/S0273- 0979-2024-01828-X.pdf

この記事では、基本的な数学と常識を組み合わせた文章題を解く際の AI テクノロジーの現在のパフォーマンスを調査します。能力と限界。

著者は、AI 自然言語テクノロジーを使用して開発された 3 つの方法をレビューします。答えを直接与える方法、問題を解決するコンピューター プログラムを生成する方法、自動定理テスター Expression で使用できる形式化を生成する方法です。

著者は、純粋な数学的研究のための AI テクノロジーの開発におけるこれらの制限の重要性はまだ明確に定義されていないと考えていますが、数学的応用やコンピューターの開発においては非常に重要です。人間が作成したソフトウェアを理解できるプログラムでは、数学の内容も重要です。

機械時代の証拠とは

論文アドレス: https://www.ams .org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01826-6/S0273-0979-2024-01826-6.pdf

この記事では、著者は機械時代における証明の性質とその進化を探求し、従来の検証とコンピュータ検証の値を比較することで分析します。

この記事で最終的に提案された方法により、人間の経験から借用した成功した戦略をコンピュータが証明できるようになるかもしれません。

自動化により数学者は自分自身の価値観を振り返ることができる

論文アドレス: https://www .ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01825-4/S0273-0979-2024-01825-4.pdf

#論文の中で著者らは、特に数学の機械化された未来を考える際の思考力の欠如と、社会のより広いレベルでのテクノロジーと人工知能に関する重要な議論を無視しているとして同僚を非難している。

p 進数フィールドの連分数

用紙アドレス: https://www 。 ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01819-9/S0273-0979-2024-01819-9.pdf

連分数 It数論、特にディオファントス近似の分野において長い歴史があります。

この記事は、p 進数体 Qp で定義される連分数である p 進連分数理論の核となる結果を概説することを目的としています。

コンテンツは基本的な概念から始まり、最新の進捗状況と現在直面している未解決の問題を紹介します。

Tao Zhexuan 投稿: 機械支援証明

ちなみに、Tao Zhexuan は論文の「機械支援証明」も利用しました。彼は前に書きました。

文書アドレス: https://terrytao.files.wordpress.com/2024/03/machine-assisted-proof-notices.pdf# ＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃

この論文の中で、Tao Zhexuan 氏は、LLM の自然言語入力処理機能の助けにより、LLM はユーザーフレンドリーなプラットフォームとなり、特別なソフトウェア知識のない数学者でも高度なツールを使用できるようになる可能性が高いと述べました。

現在、彼と多くの科学者は、これらのモデルを使用して、記号代数パッケージを含むさまざまな言語で単純なコードを生成したり、複雑な図や画像を作成したりすることに慣れています。

現在、形式的証明検証 (形式的証明検証) は人間の努力に大きく依存しているため、現在の大量の研究論文をリアルタイムで完全に形式化することは非現実的です。

偏微分方程式の分野では、1 つ以上の未知の関数 (偏微分方程式の解など) を含む積分式を推定するために、複数ページの計算を実行する必要があることがよくあります。 。

これには、さまざまな関数空間ノルム (ソボレフ空間ノルムなど) でこれらの関数の境界を使用し、標準不等式 (ヘルダー不等式やソボレフ不等式など) を組み合わせて使用​​することが含まれます。積分または積分表記における微分恒等式。

この種の計算は日常的な操作ではありますが、さまざまな程度のエラー (符号エラーなど) が含まれる可能性があり、レビュー担当者にとって、これらの計算を注意深く確認することは面倒で時間のかかる作業です。そして、計算自体は、最終的な推定値が正しいこと以外に、より深い数学的理解や洞察を提供することはほとんどありません。

将来的には、自動または半自動で数学的推定を確立するツールが開発され、現在の長くてつまらない推定証明を、明確な正式な証明に置き換えることが考えられます。証明書へのリンク。

さらに一歩進んで、初期の一連の仮定と手法に基づいて、将来の AI ツールが最適な推定値を導き出すことが期待できるかもしれません。最初に紙に書かなくても、この推定値がどのようになるかを予測するためにペン計算が行われました。

現時点では、可能な状態空間は複雑すぎて自動的に探索できないと推定されていますが、技術の発展により、そのような自動探索を実現する可能性も不可能ではありません。 。

これが達成されれば、現在は実現不可能と思われる規模で数学的探査を行うことができるようになります。

例として偏微分方程式を考えてみましょう。現在の研究では通常、一度に 1 つまたは 2 つの方程式しか研究されませんが、将来的には数百の方程式を研究できるようになるかもしれません。同時。

たとえば、最初に方程式の完全な引数を作成し、その後、拡張時に必要に応じて AI ツールがこれらの引数を多数の関連する方程式ファミリーに適応させます。議論の型破りな状況が提示されると、AI が著者に質問します。

現在、グラフ理論などの数学の他の分野でも、このような大規模な数学的探求の最初の兆候が現れ始めています。

しかし、これらの現在の予備的な試みは、非常に大きな計算コストを伴う AI モデルに依存しているか、専門家レベルの人間の大量の参加と監督が必要であるため、大規模に推進するのは困難です。 。

しかし、テレンス・タオは、近い将来、より革新的な機械支援による数学的手法の誕生を目撃できると信じています。

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