特異値分解 (SVD) の概要と画像圧縮におけるその例

特異値分解 (SVD) は、行列分解に使用される手法です。これは、行列を 3 つの行列の積、つまり左特異ベクトル行列、右特異ベクトル行列、および特異値行列に分解します。 SVD は、データの次元削減、信号処理、推奨システムなどの分野で広く使用されています。 SVD を通じて、高次元データを低次元空間に還元し、データの主な特徴を抽出できます。信号処理では、SVD をノイズ低減と信号再構成に使用できます。レコメンデーション システムでは、SVD はユーザーとアイテム間の隠れた関連性を発見し、正確なレコメンデーションを行うのに役立ちます。つまり、SVD は多くの問題を解決してくれる強力かつ柔軟な行列分解手法です。

SVD は特異値分解の略称で、行列を U、Σ の 3 つの部分に分解します。そしてV^T。このうち、U は m×m 行列、各列は左特異ベクトルと呼ばれる行列 AA^T の固有ベクトル、V は n×n 行列、各列は行列 A の固有ベクトルです。 ^TA. は右特異ベクトルと呼ばれます; Σ は m×n 行列であり、その対角線上の要素は特異値と呼ばれます。これらは行列 AA^T と 0 以外の固有値の平方根です。あ^た。 SVD 分解を通じて、複雑な行列を単純な部分に分解し、データをよりよく理解して処理することができます。

SVD は、行列圧縮と次元削減に使用できる一般的に使用される行列分解方法です。特異値の大部分を保持することで元の行列に近似し、それによって行列の保存と計算の複雑さが軽減されます。さらに、SVD はレコメンデーション システムにも適用できます。ユーザーとアイテムの評価行列に対して SVD 分解を実行することで、ユーザーとアイテムの隠れベクトルを取得できます。これらの潜在ベクトルは、ユーザーとアイテムの間の潜在的な関係を捉えることができるため、レコメンデーション システムに正確なレコメンデーション結果が提供されます。

実際のアプリケーションでは、SVD の計算の複雑さは高いため、計算を高速化するために、切り捨て SVD やランダム SVD などの最適化手法を使用する必要があります。これらの技術により、計算量を削減し、計算効率を向上させることができます。

SVD の切り捨てとは、特異値の大部分を保持し、より小さな特異値をゼロに設定して、行列の圧縮と次元削減を実現することを指します。確率的 SVD は、計算を高速化するためにランダムな投影を通じて SVD 分解を近似します。

SVD には、加重 SVD、増分 SVD、分散 SVD などの拡張形式もあり、より複雑なシナリオに適用できます。

重み付き SVD は、標準 SVD に基づいて重みを導入し、行列の重み付き分解を実行して、実際のアプリケーションのニーズによりよく適応します。

インクリメンタル SVD は、元の SVD 分解結果に基づいてマトリックスを段階的に更新することを意味し、SVD を毎回再計算するオーバーヘッドを回避します。

分散SVDとは、SVD分解の計算を複数のコンピュータに分散して計算を高速化することを指し、大規模なデータ処理に適しています。

SVD は、機械学習、レコメンデーション システム、画像処理などの分野で広く使用されており、重要なデータ分析ツールです。以上、特異値分解の原理と最適化手法について説明しました。次に、特異値分解の実際の応用例を見てみましょう。

画像圧縮に特異値分解を使用する方法

画像圧縮に特異値分解を使用する基本的な考え方は、画像行列を SVD に変換すると、いくつかのより大きな特異値と対応する左右の特異ベクトルのみが保持され、それによって画像圧縮が実現されます。

具体的な手順は次のとおりです:

1. カラー画像をグレースケール画像に変換して、行列 A を取得します。

2. 行列 A に対して SVD 分解を実行して、3 つの行列 U、S、V を取得します。S は対角行列であり、対角上の要素は特異値です。

3. S 行列の最初の k 個の大きい特異値と、対応する左右の特異ベクトルのみを保持して、新しい行列 S'、U'、および V' を取得します。

4. S'、U'、V' を乗算して近似行列 A' を取得し、元の行列 A を A-A' に置き換えます。つまり、圧縮が達成されます。 。

具体的には、ステップ 3 で保持する特異値の数 k は、圧縮率と画質要件に応じて決定する必要があります。通常、最初の 20 ～ 30 個は、特異値を使用すると、より優れた圧縮効果を実現できます。同時に、より優れた圧縮効果を達成するために、保持された特異値を量子化してエンコードすることができます。

特異値分解による画像圧縮の過程では、一定量の画像情報が失われる可能性があるため、圧縮率と画質の間のトレードオフが必要であることに注意してください。作られること。

以上が特異値分解 (SVD) の概要と画像圧縮におけるその例の詳細内容です。詳細については、PHP 中国語 Web サイトの他の関連記事を参照してください。